Olasilik olcumu (dagilim) hakkinda bir iki tiri viri soru

Question

Once gerekli animsatmalari yapalim.

Sonlu bir $X$ kumesi uzerinde tanimli olasilik olcumu $\nu$ (ya da dagilim), $X$'den $[0,1]$ kumesine giden ve

$$\sum_{x\in X}\nu(x)=1$$ sartini saglayan fonksiyondur. Elimizde boyle bir fonksiyon varken $A\subseteq X$ altkumesine bagli olarak degisen $$\nu(A):=\sum_{a\in A}\nu(a)$$ degerine $A$'nin olasiligi denir. Eger her $x$ icin $\nu(x)>0$ ise $\nu$'ye kesin (kati, mutlak) denir. $X$'in altkumelerine genelde olay denir.

Ilk soru. Su basit esitligi gosterin: $A,B\subseteq X$ icin

$$\nu(A\cup B)=\nu(A)+\nu(B)-\nu(A\cap B)$$

$A,B\subseteq X$ birer olay olsunlar ve $A$ olayinin gerceklesme olasiligi $\nu(A)$'nin sifirdan buyuk oldugunu varsayalim. Bu durumda $B$'nin $A$'ya kosullu olasiligi $\nu(B|A)$ su sekilde tanimlanir: 

$$\nu(B|A):=\frac{\nu(B\cap A)}{\nu(A)}$$

Ikinci soru. $\nu(B|A)$ degerinin bize, $A$'nin gerceklestigi biliniyorken $B$'nin gerceklesme olasiligini verdigini aciklayin.

Ucuncu soru. Asagidaki iddialari ispatlayin.

1. $A\subseteq B$ ise $\nu(B|A)=1$;
2. $B=\emptyset$ ise $\nu(B|A)=0$ (Fazla bilgi goz cikartmaz, $\nu(B|A)=0$ ise $B$ hakkinda ne soyleyebilirsiniz?)
3. $\nu(B_1\cup B_2|A)=\nu(B_1|A)+\nu(B_2|A)-\nu(B_1\cap B_2|A)$

Dorduncu soru. Bayes dizisel formulunu ispatlayin:

$A_1,\cdots,A_n\subseteq X$ olsun. Eger $\nu(A_1\cap\cdots A_{n-1})>0$ ise Bayes dizisel formulu sunu soyler: $$\nu(A_1\cap\cdots\cap A_n)=\nu(A_1)\nu(A_2|A_1)\nu(A_3|A_1\cap A_2)\cdots \nu(A_n|A_1\cap\cdots A_{n-1})$$

Besinci soru. Bir onceki soruda verilmis esitligin sag tarafini Turkce dile getirin. (carpma, $\nu$ falan gibi kelimeler kullanmadan)

Eger

$$\nu(A\cap B)=\nu(A)\cdot\nu(B)$$ esitligi saglaniyorsa $A$ ve $B$ olaylari birbirinden bagimsiz denir.

Altinci soru. Eger $A$ ve $B$ olaylarinin ikisinin olasiliklari sifirdan buyukse, bu olaylarin birbirinden bagimsiz olmasinin asagidaki sarta denk oldugunu gosterin:

$$\nu(B|A)=\nu(B)\:\text{ve}\:\nu(A|B)=\nu(A)$$

Yedinci soru. En son soruda verilen sarti Turkce dile getirin.

Comments

ilk toplamin indisi toplamin altinda degil de yaninda durmus. 

---

Vay cakal, simdi aldim pacasini asagi.

Answer 1

1) Burda alt toplamlari inceleyecez, cok genel ve bilindik bir yontem   $$\nu(A \cup B)= \sum\limits_{x \in AUB} \nu(x)=\sum\limits_{x \in A} \nu(x)+\sum\limits_{x \in B\backslash A} \nu(x)=\sum\limits_{x \in A} \nu(x)+\sum\limits_{x \in B-(A\cap B)} \nu(x)$$ $$=\sum\limits_{x \in A} \nu(x)+\sum\limits_{x \in B} \nu(x)-\sum\limits_{x \in A\cap B} \nu(x)=\nu(A)+\nu(B)-\nu(A\cap B).$$

2) Yani oyledir. Aciklamayi nasil yapacam bilmiyorum ama: Bir olayin olma olasiligini $\nu(\cdot)$ olsun. $A$ olurken $B$'nin olma olasiligi bu tanimla cakisir. Daha manali soylemek gerekirse uzayimizi kisitliyoruz $X|_Y:=X\cap Y$ tanimini yaparsak.  $X|_A=A$ ve  $B|_A=B\cap A$ olur. Yine aciklayamadim ama boyle yani, boyledir.

3) yukaridaki mukemmel aciklamamdan sonra devam edelim.
a) $A\subset B$ ise $A\cap B=A$ olur, dolayisiyla da $\nu(A\cap B)=\nu(A)$ olur.
b) Boskume olunca hic toplam yok. Toplam sifir olmali. Goz cikartmayacak kisim icin de $v(A\cap B)=0$ olmali. Eger kesisimdeki her elemanin degeri negatif olmayan sayilarsa $A\cap B$ boskume olmali.

4) Tumevarim yapabiliriz. Tanimdan dolayi $n=2$ icin dogru. $n=k$ icin dogru oldugunu kabul edelim.   $$\nu((A_1\cap \cdots \cap A_k)\cap A_{k+1})=\nu(A_1\cap \cdots \cap A_k)\nu(A_{k+1}\:|\:A_1\cap \cdots \cap A_k)$$

Tumevarim kabulumuzden sonuc geliyor.

5) Olaylarin hepsinin olmasini istiyoruz. O zaman bi bakiyoruz: $A_1$ oluyor mu? Sonra bakariz $A_1$ oldugunda $A_2$ olur mu? $\cdots$? $A_1,\cdots,A_{n-1}$ oldugunda $A_n$ oluyor mu? Bunlarin olasiliklarini inceleriz.

6) $\nu(A\cap B)=\nu(A)\nu(B)$ oldugu verilmis zaten. Gerisi tanimda yerine koymak.

7) ilk denklemi aciklayayim: kim takar $A$'yi. Bu kadar basit.

Comments

Ikinci ve son sorunun evli kismi haric ben cok guzel. Dedigim kisimlarsa eh iste. (eline saglik)

---

ikinci icin ne yazilabilir? Son kismi da cikaririz. Zaten ben de eklemek istememistim.

---

Bu isler hep hissiyat, o yuzden yazmasi mesakkatli.