Once gerekli animsatmalari yapalim.
Sonlu bir X kumesi uzerinde tanimli olasilik olcumu ν (ya da dagilim), X'den [0,1] kumesine giden ve ∑x∈Xν(x)=1
sartini saglayan fonksiyondur. Elimizde boyle bir fonksiyon varken
A⊆X altkumesine bagli olarak degisen
ν(A):=∑a∈Aν(a)
degerine
A'nin
olasiligi denir. Eger her
x icin
ν(x)>0 ise
ν'ye
kesin (
kati,
mutlak) denir.
X'in altkumelerine genelde
olay denir.
Ilk soru. Su basit esitligi gosterin: A,B⊆X icin ν(A∪B)=ν(A)+ν(B)−ν(A∩B)
A,B⊆X birer olay olsunlar ve A olayinin gerceklesme olasiligi ν(A)'nin sifirdan buyuk oldugunu varsayalim. Bu durumda B'nin A'ya kosullu olasiligi ν(B|A) su sekilde tanimlanir: ν(B|A):=ν(B∩A)ν(A)
Ikinci soru. ν(B|A) degerinin bize, A'nin gerceklestigi biliniyorken B'nin gerceklesme olasiligini verdigini aciklayin.
Ucuncu soru. Asagidaki iddialari ispatlayin.
-
A⊆B ise ν(B|A)=1;
-
B=∅ ise ν(B|A)=0 (Fazla bilgi goz cikartmaz, ν(B|A)=0 ise B hakkinda ne soyleyebilirsiniz?)
-
ν(B1∪B2|A)=ν(B1|A)+ν(B2|A)−ν(B1∩B2|A)
Dorduncu soru. Bayes dizisel formulunu ispatlayin:
A1,⋯,An⊆X olsun. Eger
ν(A1∩⋯An−1)>0 ise Bayes dizisel formulu sunu soyler:
ν(A1∩⋯∩An)=ν(A1)ν(A2|A1)ν(A3|A1∩A2)⋯ν(An|A1∩⋯An−1)
Besinci soru. Bir onceki soruda verilmis esitligin sag tarafini Turkce dile getirin. (carpma, ν falan gibi kelimeler kullanmadan)
Eger ν(A∩B)=ν(A)⋅ν(B)
esitligi saglaniyorsa
A ve
B olaylari
birbirinden bagimsiz denir.
Altinci soru. Eger A ve B olaylarinin ikisinin olasiliklari sifirdan buyukse, bu olaylarin birbirinden bagimsiz olmasinin asagidaki sarta denk oldugunu gosterin: ν(B|A)=ν(B)veν(A|B)=ν(A)
Yedinci soru. En son soruda verilen sarti Turkce dile getirin.