Olasilik olcumu (dagilim) hakkinda bir iki tiri viri soru

2 beğenilme 0 beğenilmeme
65 kez görüntülendi

Once gerekli animsatmalari yapalim.


Sonlu bir $X$ kumesi uzerinde tanimli olasilik olcumu $\nu$ (ya da dagilim), $X$'den $[0,1]$ kumesine giden ve $$\sum_{x\in X}\nu(x)=1$$sartini saglayan fonksiyondur. Elimizde boyle bir fonksiyon varken $A\subseteq X$ altkumesine bagli olarak degisen$$\nu(A):=\sum_{a\in A}\nu(a)$$degerine $A$'nin olasiligi denir. Eger her $x$ icin $\nu(x)>0$ ise $\nu$'ye kesin (kati, mutlak) denir. $X$'in altkumelerine genelde olay denir.

Ilk soru. Su basit esitligi gosterin: $A,B\subseteq X$ icin $$\nu(A\cup B)=\nu(A)+\nu(B)-\nu(A\cap B)$$

$A,B\subseteq X$ birer olay olsunlar ve $A$ olayinin gerceklesme olasiligi $\nu(A)$'nin sifirdan buyuk oldugunu varsayalim. Bu durumda $B$'nin $A$'ya kosullu olasiligi $\nu(B|A)$ su sekilde tanimlanir: $$\nu(B|A):=\frac{\nu(B\cap A)}{\nu(A)}$$


Ikinci soru. $\nu(B|A)$ degerinin bize, $A$'nin gerceklestigi biliniyorken $B$'nin gerceklesme olasiligini verdigini aciklayin.

Ucuncu soru. Asagidaki iddialari ispatlayin.

  1. $A\subseteq B$ ise $\nu(B|A)=1$;
  2. $B=\emptyset$ ise $\nu(B|A)=0$ (Fazla bilgi goz cikartmaz, $\nu(B|A)=0$ ise $B$ hakkinda ne soyleyebilirsiniz?)
  3. $\nu(B_1\cup B_2|A)=\nu(B_1|A)+\nu(B_2|A)-\nu(B_1\cap B_2|A)$

Dorduncu soru. Bayes dizisel formulunu ispatlayin:

$A_1,\cdots,A_n\subseteq X$ olsun. Eger $\nu(A_1\cap\cdots A_{n-1})>0$ ise Bayes dizisel formulu sunu soyler: $$\nu(A_1\cap\cdots\cap A_n)=\nu(A_1)\nu(A_2|A_1)\nu(A_3|A_1\cap A_2)\cdots \nu(A_n|A_1\cap\cdots A_{n-1})$$

Besinci soru. Bir onceki soruda verilmis esitligin sag tarafini Turkce dile getirin. (carpma, $\nu$ falan gibi kelimeler kullanmadan)


Eger $$\nu(A\cap B)=\nu(A)\cdot\nu(B)$$esitligi saglaniyorsa $A$ ve $B$ olaylari birbirinden bagimsiz denir.

Altinci soru. Eger $A$ ve $B$ olaylarinin ikisinin olasiliklari sifirdan buyukse, bu olaylarin birbirinden bagimsiz olmasinin asagidaki sarta denk oldugunu gosterin: $$\nu(B|A)=\nu(B)\:\text{ve}\:\nu(A|B)=\nu(A)$$

Yedinci soru. En son soruda verilen sarti Turkce dile getirin.

22, Ağustos, 2015 Lisans Matematik kategorisinde Safak Ozden (3,249 puan) tarafından  soruldu
22, Ağustos, 2015 Safak Ozden tarafından düzenlendi

ilk toplamin indisi toplamin altinda degil de yaninda durmus. 

Vay cakal, simdi aldim pacasini asagi.

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme
 
En İyi Cevap
1) Burda alt toplamlari inceleyecez, cok genel ve bilindik bir yontem  $$\nu(A \cup B)= \sum\limits_{x \in AUB} \nu(x)=\sum\limits_{x \in A} \nu(x)+\sum\limits_{x \in B\backslash A} \nu(x)=\sum\limits_{x \in A} \nu(x)+\sum\limits_{x \in B-(A\cap B)} \nu(x)$$ $$=\sum\limits_{x \in A} \nu(x)+\sum\limits_{x \in B} \nu(x)-\sum\limits_{x \in A\cap B} \nu(x)=\nu(A)+\nu(B)-\nu(A\cap B).$$

2) Yani oyledir. Aciklamayi nasil yapacam bilmiyorum ama: Bir olayin olma olasiligini $\nu(\cdot)$ olsun. $A$ olurken $B$'nin olma olasiligi bu tanimla cakisir. Daha manali soylemek gerekirse uzayimizi kisitliyoruz $X|_Y:=X\cap Y$ tanimini yaparsak.  $X|_A=A$ ve  $B|_A=B\cap A$ olur. Yine aciklayamadim ama boyle yani, boyledir.

3) yukaridaki mukemmel aciklamamdan sonra devam edelim.
a) $A\subset B$ ise $A\cap B=A$ olur, dolayisiyla da $\nu(A\cap B)=\nu(A)$ olur.
b) Boskume olunca hic toplam yok. Toplam sifir olmali. Goz cikartmayacak kisim icin de $v(A\cap B)=0$ olmali. Eger kesisimdeki her elemanin degeri negatif olmayan sayilarsa $A\cap B$ boskume olmali.

4) Tumevarim yapabiliriz. Tanimdan dolayi $n=2$ icin dogru. $n=k$ icin dogru oldugunu kabul edelim.  $$\nu((A_1\cap \cdots \cap A_k)\cap A_{k+1})=\nu(A_1\cap \cdots \cap A_k)\nu(A_{k+1}\:|\:A_1\cap \cdots \cap A_k)$$
Tumevarim kabulumuzden sonuc geliyor.

5) Olaylarin hepsinin olmasini istiyoruz. O zaman bi bakiyoruz: $A_1$ oluyor mu? Sonra bakariz $A_1$ oldugunda $A_2$ olur mu? $\cdots$? $A_1,\cdots,A_{n-1}$ oldugunda $A_n$ oluyor mu? Bunlarin olasiliklarini inceleriz.

6) $\nu(A\cap B)=\nu(A)\nu(B)$ oldugu verilmis zaten. Gerisi tanimda yerine koymak.

7) ilk denklemi aciklayayim: kim takar $A$'yi. Bu kadar basit.
22, Ağustos, 2015 Sercan (22,549 puan) tarafından  cevaplandı
22, Ağustos, 2015 Sercan tarafından düzenlendi

Ikinci ve son sorunun evli kismi haric ben cok guzel. Dedigim kisimlarsa eh iste. (eline saglik)

ikinci icin ne yazilabilir? Son kismi da cikaririz. Zaten ben de eklemek istememistim.

Bu isler hep hissiyat, o yuzden yazmasi mesakkatli.

...