$m,n\in \mathbb{N}$ olmak üzere
$$(\mathbb{R}^m,\mathcal{U}^m)\cong (\mathbb{R}^n,\mathcal{U}^n)\Leftrightarrow m=n$$ olduğunu gösteriniz.
Yeter kısmı aşikar. Gerek kısmını istirham edeceğim.
Bunlar birbirine homeomorfik olsalardi bunlardan bir nokta cikarildiginda elde edilen topolojik uzaylar da birbirine homeomorfik olurlardi. Ama bunlardan bir nokta cikartildiginda elde edilen uzaylar sirasiyla $m$ ve $n$ boyutlu kurelerdir. $m$ boyutlu kurenin homoloji gruplari da soyledir: Sifirinci ve $m$'inci homoloji $\mathbb{Z}$ digerleri sifir. Buradan da eger ikisi arasinda bir homeomorfizma varsa homoloji gruplari da ayni olmak zorunda olacagi icin $m=n$ esitligi cikar.
Bu uzaylarda birer nokta çıkarılınca elde edilen uzaylar küreye homeomorphic değil ama homotopikdir. (Homolojinin homotopi invaryant oluşundan) Aynı şekilde eşitlik elde edilir.
Ah, evet hocam. Haklısınız.
Bir çözüm daha:
Bu uzayların tek nokta kompaktlamaları $\mathbb{S}^m$ ve $\mathbb{S}^n$ olur. Bu uzaylar homeomorfik ise tek nokta kompaktlamarı da homeomorfik olur (bu da kolay bir soru olabilir). Buradan da homoloji ile $m=n$ bulunur. Ama asıl soru olan "farklı boyutlu manifoldların homemorfik olamayacağı" sorusu daha karmaşıktır, Çünki $m\neq n$ iken $\mathbb{R}^m$ ile $\mathbb{R}^n$ nin açık alt kümelerinin homeomorfik olamayacağını göstermek gerekir ve bunun için daha fazla homoloji kullanmak gerekir. Bu soruya "Invariance of Domain" problemi adı verilir.