Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
2 beğenilme 0 beğenilmeme
540 kez görüntülendi

$\int\limits^\frac{π}{2}_0 {\sqrt[3]{cos^{4}x.sin^{2}x}-\sqrt[3]{sin^{4}x.cos^{2}x}} \, dx$

Orta Öğretim Matematik kategorisinde (11.1k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 540 kez görüntülendi

2 Cevaplar

0 beğenilme 0 beğenilmeme
$sin^{2}(x).cos^{4}(x)=a^{3} $ diğerinin içi de $b^{3}$ olsun soru bize
$\int_0^{\frac{\pi}{2}}(a-b)dx$ i soruyor
Şimdi $a-b$ yi bulalım
$a.b=sin^{2}(x).cos^{2}(x)$, $a+b=sin^{2}(x).cos^{2}(x)$
O halde $a.b=a+b$ oldu 
burdan şu yapılabilir 
$a.b-2b=a-b$ ,$sin^{2}(x).cos^{2}(x)-2.sin^{4}(x).cos^{2}(x)=a-b$  bunu yazip çözümü bulunabilir birazuğraşla 
(1.5k puan) tarafından 

Teşekürler Ali

Rica ederim dexor

0 beğenilme 0 beğenilmeme

İntegrali şöyle yazabiliriz :

$$\frac{1}{2}\:\Bigg(2\int_0^\frac{\pi}{2}\cos^\frac{4}{3}(x)\sin^\frac{2}{3}(x)\:dx-2\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^\frac{4}{3}(x)\cos^\frac{2}{3}(x)\:dx\Bigg)$$

Beta fonksiyonu için aşağıdaki eşitlikler yazılabilir.

$$B(x,y)=2\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^{2x-1}(t)\:\cos^{2y-1}(t)\:dt$$

$$B(x,y)=\frac{\Gamma(x)\:\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}$$

Bu eşitlikleri kullanalım.

$$\frac{1}{2}\Bigg(B\bigg(\frac{7}{6},\frac{3}{2}\bigg)-B\bigg(\frac{3}{2},\frac{7}{6}\bigg)\Bigg)$$

$$\frac{1}{2}\frac{\Gamma(\frac{7}{6})\Gamma(\frac{3}{2})-\Gamma(\frac{3}{2})\Gamma(\frac{7}{6})}{\Gamma(\frac{8}{3})}$$

Buradan cevabı :

$$\large\color{#C00000}{\boxed{\int\limits^\frac{π}{2}_0 {\sqrt[3]{cos^{4}x.sin^{2}x}-\sqrt[3]{sin^{4}x.cos^{2}x}} \, dx=0}}$$

Aslında bu kadar uzatmaya gerek yoktu.Trigonometri ile integralin değerinin $0$ olduğuda bulunabilir.

(1.1k puan) tarafından 

Sağol Bertan


Rica ederim :)

20,218 soru
21,751 cevap
73,351 yorum
1,985,280 kullanıcı