$\int_0^\frac{π}{2} \left(\sqrt[3]{\cos^{4}x\sin^{2}x}-\sqrt[3]{\sin^{4}x\cos^{2}x}\right) \, dx$

Question

$\int\limits^\frac{π}{2}_0 {\sqrt[3]{cos^{4}x.sin^{2}x}-\sqrt[3]{sin^{4}x.cos^{2}x}} \, dx$

Answer 1

$sin^{2}(x).cos^{4}(x)=a^{3} $ diğerinin içi de $b^{3}$ olsun soru bize

$\int_0^{\frac{\pi}{2}}(a-b)dx$ i soruyor

Şimdi $a-b$ yi bulalım

$a.b=sin^{2}(x).cos^{2}(x)$, $a+b=sin^{2}(x).cos^{2}(x)$

O halde $a.b=a+b$ oldu 

burdan şu yapılabilir 

$a.b-2b=a-b$ ,$sin^{2}(x).cos^{2}(x)-2.sin^{4}(x).cos^{2}(x)=a-b$  bunu yazip çözümü bulunabilir birazuğraşla 

Comments

Teşekürler Ali

---

Rica ederim dexor

Answer 2

İntegrali şöyle yazabiliriz :

$$\frac{1}{2}\:\Bigg(2\int_0^\frac{\pi}{2}\cos^\frac{4}{3}(x)\sin^\frac{2}{3}(x)\:dx-2\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^\frac{4}{3}(x)\cos^\frac{2}{3}(x)\:dx\Bigg)$$

Beta fonksiyonu için aşağıdaki eşitlikler yazılabilir.

$$B(x,y)=2\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^{2x-1}(t)\:\cos^{2y-1}(t)\:dt$$

$$B(x,y)=\frac{\Gamma(x)\:\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}$$

Bu eşitlikleri kullanalım.

$$\frac{1}{2}\Bigg(B\bigg(\frac{7}{6},\frac{3}{2}\bigg)-B\bigg(\frac{3}{2},\frac{7}{6}\bigg)\Bigg)$$

$$\frac{1}{2}\frac{\Gamma(\frac{7}{6})\Gamma(\frac{3}{2})-\Gamma(\frac{3}{2})\Gamma(\frac{7}{6})}{\Gamma(\frac{8}{3})}$$

Buradan cevabı :

$$\large\color{#C00000}{\boxed{\int\limits^\frac{π}{2}_0 {\sqrt[3]{cos^{4}x.sin^{2}x}-\sqrt[3]{sin^{4}x.cos^{2}x}} \, dx=0}}$$

Aslında bu kadar uzatmaya gerek yoktu.Trigonometri ile integralin değerinin $0$ olduğuda bulunabilir.

Comments

Sağol Bertan

---

Rica ederim :)