İntegralimiz :
∫∞−∞cos(ax2)−sin(ax2)1+x4dx
İntegrali bir fonksiyon olarak yazalım.
Ω(a)=∫∞−∞cos(ax2)−sin(ax2)1+x4dx
Omega fonksiyonunun 1. ve 2. türevlerini alalım.
ddaΩ(a)=∫∞−∞−x2sin(ax2)−x2cos(ax2)1+x4dx
d2da2Ω(a)=∫∞−∞−x4cos(ax2)+x4sin(ax2)1+x4dx
Omega fonksiyonunu , 2. türevinden çıkaralım.
Ω(a)−d2da2Ω(a)=∫∞−∞cos(ax2)−sin(ax2)dx
Bu integralin değeri 0 dır.Ayrıntılı bilgi için "Fresnel integrali" olarak araştırılabilir.
Ω(a)−d2da2Ω(a)=0
Ω(a) için aşağıdaki eşitlikler yazılabilir.
Ω(a)=eucΩ(0)=π√2
Buradan Omega fonksiyonunu bulabiliriz.
∫∞−∞cos(ax2)−sin(ax2)1+x4dx=π(ea+e−a)√2,a≥0