$\int_{-\infty}^\infty\,\frac{\cos{(mx)}}{x^2+\alpha^2}\,dx$ integralini karmaşık analiz ile çözün

Question

$$\int_{-\infty}^\infty\,\frac{\cos{(mx)}}{x^2+\alpha^2}\,dx\:\:\:,\:\:\:m,\alpha\in\mathbb{R}^+$$

İntegralini karmaşık analiz ile çözün.

Comments

$\dfrac{\pi}{\alpha.e^{m\alpha}}$

Cevap bu mu?

---

Evet.Çözümünüzü görebilir miyim ?

---

Kabataslak çözdüm.

Answer 1

Konu hakkında detaylı bilgim yok.Kabataslak çözdüm.

$x=z$ dönüşümü yapalım.

$f(z)=\dfrac{\cos(mz)}{z^2+\alpha^2}=\dfrac{\mathbb Re^{imz}}{z^2+\alpha^2}$

$\cos(mz)=\mathbb Re^{imz}$ (Neden?)

$z^2+\alpha^2=0$ ise $z_1=\alpha i$(Basit kutup), $z_2=-\alpha i$(Bölge dışında)

$Res_{z=\alpha i}=\lim\limits_{z\to\alpha i} \dfrac{e^{imz}}{2z}=\dfrac{e^{-m\alpha}}{2\alpha i}$

$\int_{-\infty}^\infty\,\frac{\cos{(mx)}}{x^2+\alpha^2}\,dx=2\pi i.Res_{z=\alpha i}$

                               $=2\pi i.\dfrac{e^{-m\alpha}}{2\alpha i}$

                               $=\dfrac{\pi}{\alpha.e^{m\alpha}}$

Comments

$\cos(mx)=e^{imx}$ eşitliği yanlış.Çünkü $e^{imx}$ ifadesi $\cos(mx)+i\sin(mx)$ ' e eşit.Bize sadece reel kısmı gerekiyor.Bunuda şöyle yazabilirsin :

$$\cos(mx)=\Re\:{e^{imx}}$$

Buradaki $"\Re"$ reel kısmı ifade ediyor.

İkinci olarak kalıntıyı bulurken paydadaki $"2z"$ nerden geldi tam anlayamadım.$f(z)$ fonksiyonunun $z_0$ noktasındaki kalıntısı şöyle bulunuyor :

$$Res(f;z_0)=\lim\limits_{z\to{z_0}}\:(z-z_0)\,f(z)$$

Tabi bu $z_0$ 'ın $1.$ dereceden kutup olduğu durumda.Çözümü de şöyle yazsak daha doğru ve anlaşılır olur :

$$\int_Cf(z)dz=2\pi{i}\sum_{n=0}^k\:I(C;z_n)\,Res(f;z_n)\xrightarrow{\:\:\:\:}\\\Re\,\int_C\frac{e^{imx}}{(z+ia)(z-ia)}dz=\Re\bigg[\,2\pi{i}\,Res(f;ia)\bigg]\xrightarrow{\:\:\:\:}\\\Re\bigg[\,2\pi{i}\lim\limits_{z\to{ia}}\:\frac{(z-ia)\:e^{imx}}{(z+ia)(z-ia)}\bigg]=\frac{\pi}{\alpha}\,e^{-m\alpha}$$

---

Evet reel kısmı yazmalıydım.

"$2z$" ifadesi türevden geliyor.$z=\alpha i$ payı sıfır yapmadığı için paydanın türevi alınabiliyor.

Detaylı bilgi olmayınca ancak bu kadar oluyor.

---

Doğru ama detayları eksik (zaten belirtilmiş) bir çözüm. bertan 88 in belirttiklerine ek olarak bir de, hangi eğri üzerinden integral hesaplandığının belirtilmesi yararlı olur. Bu integrali hesaplamak için merkezi gerçel eksende (0 da olması işi biraz daha kolaylaştırıyor) $R$ yarıçaplı ÜST yarı düzlemdeki yarım çember ile gerçel eksendeki çapının oluşturduğu pozitif(=saatin tersi) yönlü basit kapalı eğri kullanılmalı. Bunun ve $\cos z$ değil $e^{iz}$ kullanmamızın sonucu olarak yarım çember üzerindeki integral ($R\to \infty$) 0 a gider, çap üzerindeki ($\int_{-R}^R \frac{e^{ix}}{x^2+\alpha^2}\,dx$ ) integrali de $\int_{-\infty}^\infty\frac{e^{ix}}{x^2+\alpha^2}\,dx$ e yakınsar. Kalıntı  (rezidü) teroeminden ($R>|\alpha|$ iken) kapalı eğri üzerindeki integral, (eğrinin içndeki tek tekil nokta olan)  $\alpha i$ deki kalıntının $ 2\pi i$ katına eşittir.