n bir doğal sayı olmak üzere, $$\frac{1}{2} < \frac{1}{n+1}+ \frac{1}{n+2}+ \cdots + \frac{1}{n+n}<\frac1{\sqrt2}$$

Question

olduğunu gösteriniz

Comments

Bu ikinci deger $ln\sqrt{2}$ mi olacak, yoksa ben mi yanlis yaptim .s

---

1/kök2 olacak ln yok sorunun orjinalinde ama çözümde ben hata görmedim demekki lnkök2, 1/kök 2 den küçükdür onu kanıtlamak gerekir ek olarak ki o da açık

Answer 1

ilk kisim icin $n$ terim var ve hepsi $\frac{1}{2n}$'den buyuk, o zaman sayimiz $n\frac{1}{2n}=\frac{1}{2}$'den buyuk.

Aradaki deger $\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{n}\frac{1}{1+\frac{i}{n}}$. eger $[0,1]$ araligini alirsak, $\Delta_i(x)=\frac{1}{n}$ ve $x_i=\frac{i}{n}$ olarak. Integralin tanimindan

$\lim_{n \rightarrow \infty}$ $\sum_{i=1}^{n}$ $\frac{1}{n}\frac{1}{1+\frac{i}{n}} =$ $$\int_0^1 \frac{1}{1+x}\,dx.$$ = $\left.\ln(x+1)\right|_{x=0}^{x=1}=\ln2 < \frac{1}{\sqrt{2}}$

ikinci kisimda  $\frac{1}{1+x}$'nin azalan oldugu ve toplam sembolundeki dikdortgenlerin grafigin altinda kaldigini da soylemek gerekir.

Comments

$\ln \sqrt2$ yi $\ln 2$ olarak duzelttim