${\frac{\sin(\pi z)}{\pi z}=\prod_{n=1}^\infty \big(1-\frac{z^2}{n^2}\big)}$ olduğunu ispatlayın

Question

$${\large\frac{\sin(\pi z)}{\pi z}=\prod_{n=1}^\infty \bigg(1-\frac{z^2}{n^2}\bigg)}$$

Olduğunu ispatlayın.

Answer 1

$n\in \mathbb{Z}$ olmak üzere $$\sin (\pi z)=0$$ ise $$z=n$$ olur. O halde 

$$\sin (\pi z)=\ldots (z+3)\cdot (z+2)\cdot (z+1)\cdot z\cdot (z-1)\cdot (z-2)\cdot (z-3)\dots$$

yani

$$\sin (\pi z)=z\cdot (z^2-1)\cdot (z^2-4)\cdot (z^2-9)\dots$$

yani

$$\frac{\sin (\pi z)}{z}=\prod_{n=1}^{\infty}\left(z^2-n^2\right)$$

şeklinde yazabiliriz. Buradan sonra birkaç düzenleme daha yapmak gerekiyor.

Comments

ilk cumle cok kopuk geldi bana. Demek istediginiz: $\sin(\pi z)=0 \iff z \in \mathbb Z$ galiba.

Tabi burdan sonra fonksiyon kokler carpimi seklinde yazilmis, cok dogal fakat buna izin var mi, elbet vardir da, bunun sartlari nedir mesela?

---

$n\in \mathbb{Z}$ olmak üzere $\sin \pi z=0$ denkleminin kökleri $z=n$ tamsayılarıdır. Şartları tam olarak hatırlamıyorum. Hatırladığım Euler'in ters karelerin toplamının $$\frac{\pi ^2}{6}$$ olduğunu göstermek için buna benzer birşeyler yaptığı.

Answer 2

@murad.ozkoc hocamın yaptıklarının devamını yazayım.

Cevapta ortadaki ifade ${z}$ olarak verilmiş.${\pi z}$ olacak.Çünkü her iki tarafı ${z}$ ye bölüp ${z}$ yerine ${0}$ koyarsanız ${\pi=1}$ ifadesini buluruz.

$${\sin (\pi z)=\ldots (z+3)\cdot (z+2)\cdot (z+1)\cdot (\pi z)\cdot (z-1)\cdot (z-2)\cdot (z-3)\dots}$$

Bu ifadeyi iki farklı sonsuz çarpım ile yazalım.

$${\large\sin (\pi z)=\bigg(\prod_{n=1}^\infty \big(1+\frac{z}{n}\big)\bigg)(\pi z)\bigg(\prod_{n=1}^\infty \big(1-\frac{z}{n}\big) \bigg)}$$

Sonsuz çarpımları birleştirelim ve ${\pi z}$ ifadesini eşitliğin diğer tarafına alalım.

$${\large\sin (\pi z)=(\pi z)\bigg(\prod_{n=1}^\infty \big(1-\frac{z^2}{n^2}\big)\bigg)}$$

$${\large\frac{sin (\pi z)}{\pi z}=\bigg(\prod_{n=1}^\infty \big(1-\frac{z^2}{n^2}\big)\bigg)}$$

Answer 3

$\cot \pi x=\dfrac {2x} {\pi }(\dfrac {1} {2x^{2}}+\dfrac {1} {x^{2}-1^{2}}+\dfrac {1} {x^{2}-2^{2}}+\dots)$

denklemini aşağıdaki şekilde yazarsak

$\cot \pi x-\frac{1}{\pi x}=\dfrac {2x} {\pi }(\dfrac {1} {x^{2}-1^{2}}+\dfrac {1} {x^{2}-2^{2}}+\dots)$

sağ tarafı yakınsak, $0\leq x < 1$ aralığında, yani terimlerin tek tek integrali alınabilinir. her tarafı $\pi$ ile çarpıp integralini alırsak, sol taraf için

$\pi \int _{0}^{\pi }\left( \cot \pi t-\dfrac {1} {\pi t}\right) dt=\ln \dfrac {sin\pi x} {\pi x}$ 

ve geri kalan sağdaki terimlerinde integrali alınarak, 

$\ln (1-\dfrac {x^{2}} {1^{2}})+\ln (1-\dfrac {x^{2}} {2^{2}})+\dots=\lim _{n\rightarrow \infty }\sum _{v=1}^{n}\ln \left( 1-\dfrac {x^{2}} {v^{2}}\right) $

iki terimi eşitleip, logaritmayı toplam çarpımın içinde dışarı çıkarıp, çarpım sembölüne çevirirsek toplam sembölünü, istenilen sonuç elde edilir.