Şöyle bir fonksiyon yazalım :
$${\Omega(s)=\prod_{p\:asal}\bigg(\frac{1+p^{-s}}{1-p^{-s}}\bigg)}$$
Bu fonksiyonu zeta fonksiyonu ile yazmaya çalışalım.Zeta fonksiyonunu şöyle tanımlayabiliriz :
$${\zeta(s)=\prod_{p\:asal}\bigg(\frac{1}{1-p^{-s}}\bigg)}$$
Bunun ispatı için buraya bakılabilir.
Gerekli işlemleri yaparak aşağıdaki eşitliği bulabiliriz.
$${\Omega(s)=\frac{\zeta^2(s)}{\zeta(2s)}}$$
Soruda bizden istenen ${\Omega(2)}$ .
$${\Omega(2)=\frac{\zeta^2(2)}{\zeta(4)}}$$
${\zeta(2)=\frac{\pi^2}{6}}$ ve ${\zeta(4)=\frac{\pi^2}{90}}$ olduğunu biliyoruz.Eşitlikte yerine yazalım.
$${\Omega(2)=\frac{\frac{\pi^2}{6}\frac{\pi^2}{6}}{\frac{\pi^2}{90}}}$$
$$\large\color{red}{\boxed{\prod_{p\:asal}\bigg(\frac{1+p^{-2}}{1-p^{-2}}\bigg)=\Omega(2)=\frac{\frac{\pi^2}{6}\frac{\pi^2}{6}}{\frac{\pi^2}{90}}=\frac{5}{2}\pi^2}}$$