Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
421 kez görüntülendi

$${\large\prod\limits_{p\:asal}\frac{(1+p^{-2})}{(1-p^{-2})}=\frac{5}{2}\pi^2}$$

Eşitliğini ispatlayın.

Lisans Matematik kategorisinde (1.1k puan) tarafından  | 421 kez görüntülendi

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

Şöyle bir fonksiyon yazalım :

$${\Omega(s)=\prod_{p\:asal}\bigg(\frac{1+p^{-s}}{1-p^{-s}}\bigg)}$$

Bu fonksiyonu zeta fonksiyonu ile yazmaya çalışalım.Zeta fonksiyonunu şöyle tanımlayabiliriz :

$${\zeta(s)=\prod_{p\:asal}\bigg(\frac{1}{1-p^{-s}}\bigg)}$$

Bunun ispatı için buraya bakılabilir.

Gerekli işlemleri yaparak aşağıdaki eşitliği bulabiliriz.

$${\Omega(s)=\frac{\zeta^2(s)}{\zeta(2s)}}$$

Soruda bizden istenen ${\Omega(2)}$ .

$${\Omega(2)=\frac{\zeta^2(2)}{\zeta(4)}}$$

${\zeta(2)=\frac{\pi^2}{6}}$ ve ${\zeta(4)=\frac{\pi^2}{90}}$ olduğunu biliyoruz.Eşitlikte yerine yazalım.

$${\Omega(2)=\frac{\frac{\pi^2}{6}\frac{\pi^2}{6}}{\frac{\pi^2}{90}}}$$

$$\large\color{red}{\boxed{\prod_{p\:asal}\bigg(\frac{1+p^{-2}}{1-p^{-2}}\bigg)=\Omega(2)=\frac{\frac{\pi^2}{6}\frac{\pi^2}{6}}{\frac{\pi^2}{90}}=\frac{5}{2}\pi^2}}$$

(1.1k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
Soru ile verilen cevap farkli..

Eksi işaretini koymayı unutmuşum.Düzelttim.

Neredeyse her yazımda yazım hataları yapıyorum , o kadar kontrol ettiğim halde.

Ben de hangisini yanlis yazdin onu kavrayamadim. Ondan sana biraktim. Zaten $\Omega$ icin esitlik cevaptaki ilk verilen tanima uymuyordu. 

Bu omega fonksiyonu ozelligi olan bir fonksiyon mu? zeta fonksiyonu gibi..

Omega fonksiyonu benim uydurduğum bir fonksiyon.Daha kolay anlaşılması için yazmıştım.

20,200 soru
21,728 cevap
73,277 yorum
1,888,028 kullanıcı