${\frac{\zeta(2)}{2}+\frac{\zeta(4)}{2^3}+\frac{\zeta(6)}{2^5}+\frac{\zeta(8)}{2^7}+...=1}$ eşitliğini ispatlayın

Question

${\zeta(s)}$ zeta fonksiyonu olmak üzere :

$${\large\frac{\zeta(2)}{2}+\frac{\zeta(4)}{2^3}+\frac{\zeta(6)}{2^5}+\frac{\zeta(8)}{2^7}+...=1}$$

Eşitliğini ispatlayın.

Answer 1

Seriyi yazalım :

$${\frac{\zeta(2)}{2}+\frac{\zeta(4)}{2^3}+\frac{\zeta(6)}{2^5}+\frac{\zeta(8)}{2^7}+...}$$

Sonsuz toplam ile yazalım.

$${\frac{\zeta(2)}{2}+\frac{\zeta(4)}{2^3}+\frac{\zeta(6)}{2^5}+\frac{\zeta(8)}{2^7}+...=\sum_{n=1}^\infty\frac{\zeta(2n)}{2^{2n-1}}}$$

Sonsuz toplamı ${2}$ parçaya ayıralım.

$${{\sum_{n=1}^\infty\frac{\zeta(2n)}{2^{2n-1}}}=\bigg(\sum_{n=1}^\infty\frac{2}{2^{2n}}\bigg)\bigg(\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k^{2n}}\bigg)}$$

$${\bigg(\sum_{n=1}^\infty\frac{2}{2^{2n}}\bigg)\bigg(\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k^{2n}}\bigg)=2\sum_{n=1}^\infty\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{(4k^2)^n}}$$

${\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{(4k^2)^n}}$ ifadesini sonsuz seri formüllerinden ${\frac{1}{4k^2-1}}$ olarak buluruz.

$$2\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{4k^2-1}$$

İçerideki kesiri ${2}$ farklı kesir halinde yazalım.

$$\sum_{k=1}^\infty\bigg(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1}\bigg)$$

Şimdi terimlerin bir kaçını yazalım.

$${\frac{1}{1}}\color{red}{-\frac{1}{3}}\color{red}{+\frac{1}{3}}\color{green}{-\frac{1}{5}}\color{green}{+\frac{1}{5}}\color{blue}{-\frac{1}{7}}\color{blue}{+\frac{1}{7}}-...$$

Aynı renkli olan terimler birbirlerini götürüyorlar.Bu sonsuza kadar devam ediyor.

$$\color{red}{\large\boxed{\frac{\zeta(2)}{2}+\frac{\zeta(4)}{2^3}+\frac{\zeta(6)}{2^5}+\frac{\zeta(8)}{2^7}+...=\sum_{n=1}^\infty\frac{\zeta(2n)}{2^{2n-1}}=1}}$$

Comments

O son seriye telescoping series denier, Turkcesi tam nedir bilmiyorum ama iste birbirini eleyen toplamlarin oldugu..

Lakin soyle yazmak matematiksel olani: 

$\lim\limits_{n\to \infty} \sum\limits_{k=1}^n(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1})=\lim\limits_{n\to \infty} (1-\frac{1}{2n+1})=1$.