İntegrali inceleyelim.
∫∞0xs−1ex−1dx
1ex−1 ifadesini taylor serisi ile açalım.
∫∞0∞∑n=1e−nxxs−1dx
Toplam sembolü ile integralin yerini değiştirelim.(Aşağıda açıklama var)
∞∑n=1∫∞0e−nxxs−1dx
nx=ω şeklinde değişken değiştirelim.
∞∑n=11ns∫∞0e−ωωs−1dω
∫∞0e−ωωs−1dω=Γ(s) ve ∑∞n=11ns=ζ(s) olduğuna göre yerine yazalım.
ζ(s)Γ(s)
O zaman integralimiz :
∫∞0xs−1ex−1dx=ζ(s)Γ(s)
ζ(s)=1Γ(s)∫∞0xs−1ex−1dx
Açıklama : Seri , 1ex−1 ifadesinin taylor açılımı olduğundan yakınsaktır.Buraya bakılabilir.