İntegralimiz:
∫∞0xs−1e−ax1−e−xdx
11−e−x ifadesini sonsuz toplam ile yazabiliriz.
∫∞0∞∑n=0e−nxxs−1e−axdx
∫∞0∞∑n=0xs−1e−ax−nxdx
∫∞0∞∑n=0xs−1e−x(n+a)dx
Seri düzgün yakınsak olduğundan integral ile toplam sembolünün yerini değiştirebiliriz.
∞∑n=0∫∞0xs−1e−x(n+a)dx
x(n+a)=ω olacak şekilde değişken değiştirelim.
∞∑n=0∫∞01(n+a)sωs−1e−ωdω
∞∑n=01(n+a)s∫∞0ωs−1e−ωdω
Hurwitz zeta fonksiyonu ve gama fonksiyonunun tanımına göre :
ζ(s,a)=1Γ(s)∫∞0xs−1e−ax1−e−xdx