$\zeta(s,a)=\frac{1}{\Gamma(s)}\int_0^\infty\frac{x^{s-1}e^{-ax}}{1-e^{-x}}\:dx$ eşitliğini ispatlayın

Question

$\zeta(s,a)$ hurwitz zeta fonksiyonu ve $\Gamma(s)$ gama fonksiyonu olmak üzere :

$$\large\zeta(s,a)=\frac{1}{\Gamma(s)}\int_0^\infty\frac{x^{s-1}e^{-ax}}{1-e^{-x}}\:dx$$

Eşitliğini ispatlayın.

Answer 1

İntegralimiz:

$$\int_0^\infty\frac{x^{s-1}e^{-ax}}{1-e^{-x}}\:dx$$

$\frac{1}{1-e^{-x}}$ ifadesini sonsuz toplam ile yazabiliriz.

$$\int_0^\infty\:\sum_{n=0}^\infty\:e^{-nx}x^{s-1}e^{-ax}\:dx$$

$$\int_0^\infty\:\sum_{n=0}^\infty\:x^{s-1}e^{-ax-nx}\:dx$$

$$\int_0^\infty\:\sum_{n=0}^\infty\:x^{s-1}e^{-x(n+a)}\:dx$$

Seri düzgün yakınsak olduğundan integral ile toplam sembolünün yerini değiştirebiliriz.

$$\sum_{n=0}^\infty\:\int_0^\infty\:x^{s-1}e^{-x(n+a)}\:dx$$

$x(n+a)=\omega$ olacak şekilde değişken değiştirelim.

$$\sum_{n=0}^\infty\:\int_0^\infty\:\frac{1}{(n+a)^s}\omega^{s-1}e^{-\omega}\:d\omega$$

$$\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{(n+a)^s}\:\int_0^\infty\:\omega^{s-1}e^{-\omega}\:d\omega$$

Hurwitz zeta fonksiyonu ve gama fonksiyonunun tanımına göre :

$$\large\color{red}{\boxed{\zeta(s,a)=\frac{1}{\Gamma(s)}\int_0^\infty\frac{x^{s-1}e^{-ax}}{1-e^{-x}}\:dx}}$$

Comments

Kendi sorduğunuz bir soruya kısa bir süre içinde cevap verip, cevabınızı en iyi seçmek nasıl bir duygu?

---

Çok güzel.Neden merak ettiniz ?