Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
414 kez görüntülendi

Merhabalar

Aşağıdaki denklemin ispatında yardımcı olabilir misiniz? Teşekkürler.

$\prod_{n=1}^\infty   cos( \frac{x} {2^n}) = \frac{sin(x)}{x} $

Lisans Matematik kategorisinde (1.1k puan) tarafından  | 414 kez görüntülendi

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

Sin icin  aci formulunu tekrar ve tekrar kullanirsak 

$\sin x=2\sin(\frac{x}{2})\cos(\frac{x}{2})$

$=2.2\sin(\frac{x}{4})\cos(\frac{x}{4})\cos(\frac{x}{2})$

$=2.2.2\sin(\frac{x}{8})\cos(\frac{x}{8})\cos(\frac{x}{4})\cos(\frac{x}{2})$

$=\vdots$

$=2^n\sin(\frac{x}{2^n}) \bigg(\prod_{k=1}^n\cos(\frac{x}{2^k})\bigg)$

elde ederiz. 

$lim_{n\rightarrow\infty}  2^n\sin(\frac{x}{2^n})=x $ oldugundan

$\frac{\sin x}{x}= \prod_{k=1}^{\infty}\cos(\frac{x}{2^k})$ olur..

Surdan alindi..

http://www.calpoly.edu/~kmorriso/Research/cosine.pdf

(2.9k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi

Limitin yanindaki esittir fazla olmus

Teşekkürler hocam , anladım.

20,200 soru
21,728 cevap
73,275 yorum
1,887,942 kullanıcı