z=a+bi dersek z3+¯z=a3−3ab2+a+(3a2b−b3−b)i=0 olur bu durumda iki denklem elde ederiz.
a(a2−3b2+1)=0
b(3a2−b2−1)=0 Bu iki denklemde ya a ve b aynı anda 0 olacak, ya da ikisi de 0 olmayacak (Tek birini 0 alırsak denklem çözüm kümesi kompleks çıkıyor.). O halde ilk kök z=0+0.i=0 gelir.
İkisi de 0 olmadığı zaman ise a2−3b2+1=0 ve 3a2−b2−1=0 denklemlerini birlikte çözmemiz gerekir. Taraf tarafa toplarsak 4a2−4b2=0 gelir o halde a2=b2 olmalıdır. Denklemlerden birinde b2 yerine a2 yazarsak 2a2=1 ve a=±1√2 olmalıdır. a2=b2 olduğundan a=±b olmalıdır. O halde z sayılarının çözüm kümesi {0,1√2+1√2i,1√2−1√2i,−1√2+1√2i,−1√2−1√2i} olmalıdır.