Question

$z^3+\bar z=0$ esitligini cozunuz. ($z\in \mathbb C$)

Answer 1

$z^3=-\bar{z}$, $|z|^3=|z|$ den $|z|=0$ veya $|z|=1$ olur. $z=0$ veya $z=e^{i\theta}\ (\theta\in\mathbb{R})$ olur. $z=e^{i\theta}$ durumunda, $z^3=e^{3i\theta},\ -\bar{z}=e^{i(\pi-\theta)}$ olur.

$3\theta=(\pi-\theta)+2k\pi\ (k\in\mathbb{Z})$ den çözülür.

Comments

$|z|=1$ durumunda her iki tarafı $z$ ile çarpınca daha ilköğretimsi oluyor.

Answer 2

Soruda tam ne istiyor bilmiyorum ama böyle bir şey olabilir mi?

Comments

boyle bir sey.

Answer 3

$z=a+bi$ dersek $z^3+\overline {z}=a^3-3ab^2+a+(3a^2b-b^3-b)i=0$ olur bu durumda iki denklem elde ederiz. 

$a(a^2-3b^2+1)=0$

$b(3a^2-b^2-1)=0$ Bu iki denklemde ya $a$ ve $b$ aynı anda $0$ olacak, ya da ikisi de $0$ olmayacak (Tek birini $0$ alırsak denklem çözüm kümesi kompleks çıkıyor.). O halde ilk kök $z=0+0.i=0$ gelir. 

İkisi de $0$ olmadığı zaman ise $a^2-3b^2+1=0$ ve $3a^2-b^2-1=0$ denklemlerini birlikte çözmemiz gerekir. Taraf tarafa toplarsak $4a^2-4b^2=0$ gelir o halde $a^2=b^2$ olmalıdır. Denklemlerden birinde $b^2$ yerine $a^2$ yazarsak $2a^2=1$ ve $a=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}$ olmalıdır. $a^2=b^2$ olduğundan $a=\pm b$ olmalıdır. O halde $z$ sayılarının çözüm kümesi $\{0,\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}i,\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}i,-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}i,-\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}i\}$ olmalıdır.