Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
195 kez görüntülendi
Bir $n\in\mathbb{N}$ için $z^n+(1-iz)^n=0$ ise $\textrm{Im}\, z=-\frac12$ olduğunu gösteriniz.

Zor değil, rutin bir cebirsel çözümü ve (daha genel olan) güzel bir geometrik çözümü var.
Lisans Matematik kategorisinde (6.2k puan) tarafından  | 195 kez görüntülendi

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

1. Cebirsel çözüm:

Denklemi düzenlersek,

$|z|^n=\left|{1-iz}\right|^n$ elde ederiz.

$|z|,|1-iz|\geq0$ olduğundan, $|z|=|1-iz|$ olmalıdır. $z=a+i\,b\ (a,b\in\mathbb{R})$ şeklinde yazalım.

Her iki tarafın karesi alınırsa

$a^2+b^2=(1+b)^2+a^2$ ve bu sadeleştirmelerden sonra, $b=-\frac12$ bulunur.

2. Kısa Geometrik çözüm:

(Önceki gibi) $|z|=|1-iz|$ elde ettikden sonra:

$|z|=|1-iz|=|i|\,|1-iz|=|z+i|$ olur. Bu da, $z$ nin $0$ ve $-i$ den eşit uzaklıkta olmasına eşdeğerdir.

(Düzlemde) bu iki noktaya eşit uzaklıktaki noktalar (karmaşık sayılar) iki noktayı birleştiren doğru parçasınn orta dikmesi üzerinde bulunurlar, Bu doğru da, $\textrm{Im}\,z=-\frac12$ doğrusudur.

3. Biraz daha uzun geometrik çözüm:

Denklemden, $\left|\frac z{1-iz}\right|^n=1$ olduğunu görüyoruz. Buradan, $\left|\frac z{1-iz}\right|=1$ olduğu, yani, $\frac z{1-iz}$ nin birim çember üzerinde olduğu görülüyor.

$w=Tz=\frac z{1-iz}$ Mobius (Kesirli Lineer) dönüşümünün tersi $T^{-1}(z)=\frac z{1+iz}$ (Mobius) dönüşümüdür.

("Sonsuz" da hesaba katıldığında) Mobius dönüşümleri (düzlemdeki) çemberleri (ve doğruları) çember veya doğruya dönüştürür.

$T^{-1}$, birim çember üzerindeki, $i$ noktasını "sonsuz"a gönderdiği için, birim çemberi bir doğruya dönüşütürür. $T^{-1}(-i)=-\frac12i$ ve $T^{-1}(1)=\frac12(1-i)$ olduğundan, $T^{-1}$, birim çemberi, $\textrm{Im}\,z=-\frac12$ doğrusuna dönüştürür. Bu da, $T$ nin $\textrm{Im}\,z=-\frac12$ doğrusunu birim çembere dönüştürmesine eşdeğerdir.

Sonuç olarak, $\left|\frac z{1-iz}\right|=1$ eşitliğini sağlayan her karmaşık sayı için $\textrm{Im}\,z=-\frac12$ olur.

 

(6.2k puan) tarafından 
20,248 soru
21,774 cevap
73,421 yorum
2,150,353 kullanıcı