Dunyanin Diger Ucunda Hava Sicakligi Burayla Ayni Olabilir mi?

Question

Aciklama: Oncelikle dunyanin diger ucu derken ne demek istiyorum, onu anlatayim. Bulundugumuz yerden dunyanin merkezine duz bir dogru cizelim. Bu dogru dunyanin obur tarafindan bir yerden cikacaktir. Tam o noktaya dunyanin diger ucu diyorum. 3 boyutlu koordinatlar cinsinden dusunursek kure uzerindeki $A = (x,y,z)$ noktasi icin, kurenin diger ucu $-A = (-x, -y, -z)$ noktasi olacaktir.

Soru: $T: Dunya \to \mathbb{R}$ fonksiyonunu, $T(A) = A \textit{ noktasindaki sicaklik}$ olarak tanimlayalim. Dunyanin kure oldugunu ve sicakligin surekli bir fonksiyon oldugunu varsayalim. O zaman, oyle bir $X$ noktasi vardir ki dunyada $T(X) =  T(-X)$ olur. Yani, $X$ noktasi ile dunyanin diger ucundaki $-X$ noktasi ayni sicakliktadir. 

Notlar: 

• Soruyu biraz degistirerek cozmek daha kolay. Dunya yerine ekvatoru dusunelim ve soruyu boyle cozmeye calisalim. Bu lisans seviyesinde. Bizim bu sorudan istedigimiz ekvatorlu versiyon icin cozum.
  
• Soruyu biraz degistirip sunu ekleyebiliriz. $T: Dunya \to \mathbb{R}^2$ fonksiyonu ilk koordinatta o noktadaki sicakligi, ikinci koordinatta da atmosferik basinci versin. O zaman dunyanin zit uclarinda yer alan oyle iki nokta vardir ki, bu iki noktada sicaklik ve atmosferik basinc aynidir. Sanirim bu akademik seviyesinde. En azindan ben daha baska cozum bilmiyorum. Bu haliyle soru Bursak-Ulam teoreminin cok basit bir uygulamasi oluyor. Borsuk-Ulam teoremi $n$-boyutlu kureden $n$-boyutlu Oklid uzayina giden her surekli $f: S^n \to \mathbb{R}^n$ fonksiyonu icin $f(A) = f(-A)$ olacak sekilde bir $A$ noktasi oldugunu soyluyor. $n = 1$ durumu birinci nottaki ekvator durumunu da kanitliyor ama cok agir bir teknoloji bu. Biz daha kolay bir cozum ariyoruz.

Comments

Klimalar çıktı, mertlik bozuldu.

---

Yeni bir fonksiyon tanımlasak, öyle ki herhangi bir $(x,y,z)$ pozisyonu için bu yeni fonksiyon $T'(x)=T(x)-T(-x)$ olsa. Yani bir pozisyonun sıcaklığı ile bu pozisyonun diğer ucu arasındaki sıcaklık farkını ölçse. O zaman bu yeni fonksiyon $T'$ tek bir fonksiyon. $T'$'nin $0$'a eşit olduğu bir değer bulmamız lazım şimdi. Böyle bir nokta olmadığını varsayalım. Öyleyse öyle bir $x$ var ki $T'(x)>0$, yani $T'(-x)<0$. $T'$ sürekli olduğuna göre ara-değer teoremine göre $T'(y)=0$'ı sağlayan bir $y$ değeri olmalı. 

Emin olmamakla birlikte birkaç kez denedim çalışıyor gibi.

---

Evet. Hatta EVET. Benim aklimdaki cevaptan daha guzel. Cevap olarak yazabilirsin bence.

Ben bu sekilde dusunmemistim. $T'$ fonksiyonununu $\mathbb{R}$'den $\mathbb{R}$'ye $2 \pi$-periyodik bir fonksiyon olarak dusunmustum ve $T'(x) = T(x) - T(x + \pi)$ olarak tanimlamistim. O zaman $T'(0)$ ve $T'(\pi)$'in isaretleri farkli oluyor. Eger bunlar sifir degil ise arada bir yede bir sifir olmali.

Tek fonksiyon olarak yazmak daha guzel. Sanirim fonksiyonumuzun tanim kumesi $[-1,1]$ bu durumda. Oyle degil mi?

Bu arada en sonda $T'(-x)<0$ olacak. Yazim yanlisi.

---

Teşekkür ederim hocam :) Aslında tanım kümesi $\{(x,y,z) | x^2+y^2+z^2=1\}$. Fonksiyonun içindeki $x$ parametresi aslında üç bileşeni birden gösteriyor, yani herhangi bir pozisyonun adı $x$. 

---

Bugün bu sorunun aynısını Analiz II 'Ali Nesin'de gördüm. Ara değerin iyi bir örnegi.

Answer 1

$F : S^2 \rightarrow \mathbb{R}$ şöyle tanımlansın :

$F(x,y,z)=T(x,y,z)-T(-x,-y,-z)$. Burada $T$ fonksiyonu soruda verilmiş olan sıcaklık fonksiyonudur.

$T$ sürekli olduğuna göre, $F$ de sürekli.

Şimdi $A=(x,y,z)$, Dünya'nın merkezine göre simetriği ile aynı sıcaklığa sahip olmayan bir nokta olsun. Öyleyse $F(A)\neq 0$.

Diyelim ki $F(A)>0$ (küçük olması durumu da aynı şekilde çözülür), öyleyse $F(-A)<0$. Çünkü $A$ ile $A$'nın Dünya'nın merkezine göre karşısındaki sıcaklık farkı pozitifse, $A$'nın karşısı ile $A$ arasındaki fark negatiftir.

$F$ sürekli olduğuna göre, ara değer teoremine göre muhakkak $F(B)=0$'ı sağlayan bir $B$ olmalıdır ve bu $B$ noktasının karşısı ile sıcaklığı aynıdır.