${\frac{1}{2}.}$ türev , yarım türev

Question

Şöyle bir şey düşündüm , ${f(x)}$ fonksiyonu sonsuz kere türevlenebilen ve integrallenebilen bir fonksiyon olsun.${f(x)}$ fonksiyonunun 1. , 2. , 3. ... türevlerini alabiliriz.Aynı şekilde 1. , 2. , 3. ... integrallerinide alabiliriz.Peki ya ${f(x)}$ fonksiyonunun ${\frac{1}{2}.}$ ${\frac{3}{2}.}$ türevleri yada ${\frac{1}{2}.}$ ${\frac{3}{2}.}$ integrallerini alabilir miyiz? Yani türev ve integral alma sayılarımızı pozitif tam sayılardan reel sayılara genişletebilir miyiz?

${f(x)=x^n}$ olsun. ${n\ge a}$ , ${n\in\mathbb Z^+}$ ve ${a\in\mathbb Z}$ için şöyle bir şey yazabiliriz:

${\large\frac{d^a}{dx^a}x^n=\frac{n!}{(n-a)!}x^{n-a}}$

${a}$ değeri ${1}$ olduğunda ${1.}$ türev , ${2}$ olduğunda ${2.}$ türevi buluruz.Aynı şekilde ${-1}$ oldunda ${1.}$ integrali ${2}$ olduğunda ${2.}$ integrali buluruz.

Şimdi bu eşitliği bütün reel sayılara taşıyalım.Bunun için faktöriyel yerine gama fonksiyonu kullanalım.

${f(x)=x^n}$ olsun. ${n\ge0}$ ve ${a\in\Re}$ için şöyle bir şey yazabiliriz:

${\large\frac{d^a}{dx^a}x^n=\frac{\Gamma(n+1)}{\Gamma(n-a+1)}x^{n-a}}$

${\alpha\in\Re^+}$ ve ${\theta\in\Re^-}$ olmak üzere ;

${a}$ yerine ${\alpha}$ koyduğumuzda ${\alpha.}$ türevi , ${\theta}$ koyduğumuzda ${\theta.}$ integrali buluruz.Biz şimdi ${\frac{1}{2}.}$ türev ile uğraşalım.${\frac{1}{2}.}$ türev için formülü şöyle yazabiliriz :

${\large\frac{d^{\frac{1}{2}}}{dx^{\frac{1}{2}}}x^n=\frac{\Gamma(n+1)}{\Gamma(n+\frac{1}{2})}x^{n-\frac{1}{2}}}$

Şimdi ${x^2}$ nin ${\frac{1}{2}.}$ türevini alalım :

${\large\frac{d^{\frac{1}{2}}}{dx^{\frac{1}{2}}}x^2=\frac{\Gamma(3)}{\Gamma(2+\frac{1}{2})}x^{\frac{3}{2}}}$

Gama fonksiyonunun özelliklerini kullanarak sadeleştirelim :

${\large\frac{d^{\frac{1}{2}}}{dx^{\frac{1}{2}}}x^2=\frac{2x^{\frac{3}{2}}}{(\frac{3}{2})(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{1}{2})}}$

${\Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt{\pi}}$ olduğuna göre

${\large\frac{d^{\frac{1}{2}}}{dx^{\frac{1}{2}}}x^2=\frac{8x}{3}\sqrt{\frac{x}{\pi}}}$

olarak buluruz.

Bulduğumuz bu değerin tekrar ${\frac{1}{2}.}$ türevini alırsak ${\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1.}$ türevini buluruz :

${\large\frac{d^{\frac{1}{2}}}{dx^{\frac{1}{2}}}\frac{8}{3\sqrt{\pi}}x^{\frac{3}{2}}=\frac{8}{3\sqrt{\pi}}\frac{\Gamma(\frac{5}{2})}{\Gamma(2)}x^{\frac{3}{2}-\frac{1}{2}}}$

                         ${\large=\frac{8}{3\sqrt{\pi}}\frac{3\sqrt{\pi}}{4}x=2x}$

Şimdi benim sorum ; ${x^n}$ fonksiyonunun ${a\in\Re}$ için ${a.}$ türevini bulduk , peki ${\ln(x)}$ , ${sin(x)}$ , ${cos(x)}$ gibi fonksiyonların ${a.}$ türevlerini nasıl bulabiliriz?

Comments

şöyle bir denklem buldum, fractional calculus for scientists and engineers  adlı kitaptan

---

bir soru daha ekleyeyim kitabın sonundan; bu "fraksiyonel türev" in geometrik ve/veya fiziksel yorumu nedir?

---

İlginiz için teşekkürler hocam.Denklemi inceleyeceğim.

Fiziksel yorum için şöyle bir şey söyleyebiliriz : 

Alınan yol-zaman grafiğimiz yada fonksiyonumuz olsun , ${1.}$ türev anlık hız , ${2.}$ türev anlık ivme , ${1.}$ integral iş , ${\frac{1}{2}.}$ türev ise hiç bir şeyi göstermez :) En azından ben öyle düşünüyorum.

---

daha tam olarak cevaplanmamış soruları arasındaydı, gösteredebilir :) 

---

Nature'da yayınlanan şu makale ilginç:  

http://www.nature.com/srep/2013/131205/srep03431/full/srep03431.html

(Measuring memory with the order of fractional derivative)

Sistemden bağımsız olarak (fiziksel, biyolojik vs) türevin mertebesinin hafızanın bir ölçüsü, indeksi olduğunu iddia etmişler, 1-2 sene evvel. Okumak lazım, konu açık zaten. "Son söz" söylenmiş değil.

---

Daha onceden soyle bir soru sormustum: http://matkafasi.com/5020/%24x-2%24-fonksiyonunun-%241-5%24-bir-bucuk-uncu-turevi-nedir

Detayli okumadim daha tam fakat: Faktoriel yerine gamma fonksiyonunu neden kullanabiliriz? Bu guzel bir "trick" (kurnazlik). Gamma fonksiyonu ile faktoriel $\Gamma(n)=(n-1)!, n\in\mathbb Z^+$ oldugundan zaten iliskili gibi duruyor. Peki yukarda yerine kullanmamizin sebebi nedir? Tam sayilardan reel sayilara gecmek. Bunu Gamma fonksiyonu ile neden yapabiliyoruz. 

Ek olarak: $\mathfrak R$ olarak kullanilan sey nedir?

---

<p>
     $i$ inci dereceden türevini biliyormuyuz peki?
</p>
 
<p>
    <br>
</p>

---

Hocam ${\Re}$ reel sayı anlamında.

${z\in\mathbb{C}}$ olmak üzere ;
${\large\frac{d^z}{dx^z}x^n=\frac{\Gamma(n+1)}{\Gamma(n-z+1)}x^{n-z}}$ eşitliği doğru olurmu bilmiyorum ama olursa ${x}$ fonksiyonu için şöyle bir şey buluruz :
${\large\frac{d^i}{dx^i}x=\frac{-\Gamma(i)x^{(1-i)}}{(1-i)\Gamma(-i)}}$

---

Buradaki pdf incelenebilir.${e^x}$ ,${ln(x)}$ , ${sin(x)}$ ... gibi fonksiyonlar için genelleştirilmiş türev formülleri var.