Eşitsizliklerde türev almak.

Question

Uykuluyum diye gözümden kaçıyor mu emin değilim, ancak belli sabit sınırları olan fonksiyonlar veya sınırları da degişken olan fonksıyon eşitsizliklerinde türev alınınca eşitsizlikler korunur mu?

$1)$

$a,b\in\mathbb R$  ve  $n\in\mathbb Z^+$  

ve

$f:\mathbb R\to \mathbb R$  olmak üzre;

$x\in\mathbb R$ için her zaman,

$a<f(x)<b$ ise ;

$a<\dfrac{d^n}{dx^n}(f(x))<b$  geçerli midir?Hangi $n$ ler için geçerlidir?


$2)$

$n,k,l\in\mathbb Z^+$   olmak üzre;

$x\in\mathbb R$ için her zaman,

$f,g,h:\mathbb R\to \mathbb R$

$g(x)\le f(x) \le h(x)$  ise;

$\dfrac{d^n}{dx^n}(g(x))\le \dfrac{d^k}{dx^k}(f(x)) \le \dfrac{d^l}{dx^l}(h(x))$ 

Bu eşitsizliğin sağlandığı $l,k,n$ değerleri var mıdır?

Comments

$g(x) \leq f(x)$  ne demek ? 

---

Ekleme yaptım daha açık oldu sanırım :)

---

1. soru için mesela $[0,5]$  de $f(x)=1-x$ olsun türevi aralık dışında kalıyor sanki 

---

Evet dediğin bir ters örnek oldu :) 1 gitti, ama 2.den umutluyum.

---

Bende uykulu olabilirim , bundan dolayı  daha açık yorumlar gelecektir :) 

şöyle bir olay vardı link bak istersen 

---

$g$ ve $h$'yi sabit fonksiyon al. Yazdığın şey doğru olsaydı, sınırlı her fonksiyonun türevi sıfırdır sonucuna ulaşırdik. Bu da sınırlı her fonksiyonun sabit olduğunu söylerdi. Ama bu tabii ki doğru değil.

---

Dogrudur, sabite gerek olmadan bile eğimi büyük olan ama sabit sayı gereği g ile h arasında kalan f fonksiyonu da ters örnek oluşturuyor, peki nasıl bir şart koyarak böyle bir eşitlik yapardık, sanırım faydasız gözüküyor. 

Yorumlar için @ra ve @Ozgur teşekkürler

Answer 1

İki iddia da hiç ama hiç doğru değil. O kadar ki $f(x)\leq g(x)$ iken $f'(x)=g'(x)$ olabilir, $f'(x)<g'(x)$ olabilir, $f'(x)>g'(x)$ olabilir.