Question

$f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ her gerçel $x$ ve $y$ değeri için $f(x+y) \leq yf(x)+ f(f(x))$ eşitsizliğini sağlayan bir fonksiyon olsun. Her $x\leq0$ için $f(x) = 0$ olduğunu kanıtlayın.

Comments

bu soru lısans olmalı "sanırım", olimpiyat sorularına benzıyor.

---

olimpiyat sorulari ortaogretim.

Answer 1

Ben cevabı farklı bulyorum, hatama varsa göstersiniz soru çözülmüş olur yoksa da soru hatalıdır

fonksiyonda $x=a,y+x=f(b)$ yazarsak $y=f(b)-a$ olur verilen eşitsizlikte $$f(f(b))-f(f(a))\le f(a).f(b)-a.f(a)$$ olur benzer şekilde $x=b,y+x=f(a)$ yazarsak $y=b-f(a)$ olur verilen eşitsizlikte $$f(f(a))-f(f(b))\le f(a).f(b)-b.f(b)$$ bu eşitsizlikleri taraf tarafa toplayarak $$2f(a)f(b) \geq af(a)+bf(b)$$ bulunur bu eşitsizliktede $b=f(a)$ yazarsak $a.f(a)\le 0$ bulunurki $a \le 0$ ise $f(a)\geq 0$ dır cevap ya bu ya da ben buradan sonrasında tıkandım

Comments

$b=f(a)$ yazılınca $f(a).f(f(a))\geq af(a) \Rightarrow f(f(a))\geq a$ bulunuyor. Buradan siz nasıl $a.f(a)\leq 0$ buldunuz?

---

evet hocam doğru söylüyorsunuz o gün görememişim hatamı zaten belirtmişim yönler karışmış