Harmonik serinin (ilki dışında) kısmi toplamlarının tamsayı olmadığını gösteriniz.

Question

$n\in\mathbb{N}^+$ için, $S_n=\frac11+\frac12+\frac13+\cdots+\frac1n$ olsun.
$\forall n>1$ için $S_n\notin\mathbb{N}$ olduğunu gösteriniz.

Comments

('Bu soru vardı ve cevap yazmıştım' gibi hatırlıyorum. Baktım bulamadım gerçi.)

Answer 1

Örnek olarak $$H_5=1+\frac12+\frac13+\frac14+\frac15$$ incelemesi yapalım. Bu durumda ($5$'ten küçün $2$'nin kuvveti $2^2$, bu nedenle $2^{2-1}$ ile çarparsak) $$2H_5=2+1+\frac23+\frac12+\frac25$$ bize $$-\frac12=-2H_5+2+1+\frac23+\frac25$$ olduğunu verir. (Rasyonel) $H_5$ tam sayı olsa sağ tarafı paydası tek olacak şekilde yazabiliriz. Bu bir çelişki verir.

Genel olarak $1<2^{k} \le n< 2^{k+1}$ ise
$2^{k-1}H_n$ hesaplaması ve
$H_n$ tam sayıdır kabulü ile
$-1/2$ yine paydası tek olacak bir şekilde yazılabilir oluyor.