Harmonik kısmi toplamı için bir eşitsizlik 1

Question

Her  $n\gt1$ tamsayısı için $$1/2\lt1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/(2n)\lt3/4$$  olduğunu gösteriniz.

Toplamın $1/2$ den büyük olduğunu göstermek kolay; toplamdaki her terim yerine $1/2n$ almak yeterli. Fakat diğer tarafı nasıl gösterebiliriz?

Comments

İntegral kullanarak gösterilebilir.

Answer 1

Şöyle bir elemanter çözümü var:

$\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n+1}+...+\dfrac{1}{2n}=\dfrac{1}{2}[(\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{2n})+(\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{2n-1})+...+(\dfrac{1}{2n}+\dfrac{1}{n})]$ $$=\dfrac{1}{2}[\dfrac{3n}{2n^2}+\dfrac{3n}{2n^2+(n-1)}+\dfrac{3n}{2n^2+2(n-1)}+...+\dfrac{3n}{2n^2}]$$   $$\lt \dfrac{1}{2}[\dfrac{3n}{2n^2}+\dfrac{3n}{2n^2}+\dfrac{3n}{2n^2}+...+\dfrac{3n}{2n^2}]=\dfrac{1}{2}(n+1)\dfrac{3}{2n}=\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{4n}\lt \dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{n}$$ elde edilir ki bu da bizden istenendir.

Answer 2

Koordinat düzleminde, köşeleri $(n,0),\ (2n,0),\ (n,\frac1n)$ ve $(2n,\frac1{2n})$ noktalarında olan dik yamuğu düşünelim.

Bu yamuğun alanı $\frac34$  olur.

Üst kenarın denklemi $y=-\frac x{2n^2}+\frac3{2n}$ dir. $f(x)=-\frac x{2n^2}+\frac3{2n}$ diyelim.

$n<k\leq2n$ tamsayılarını düşünelim. $(2n-k)(n-k)\leq0$ oluşundan, düzenleyerek, $f(k)\geq\frac1k$ elde edilir. Yani $(k,\frac1{k})$ noktaları ($k<2n$ için) $y=-\frac x{2n^2}+\frac3{2n}$  doğrusunun altında kalır, $k=2n$ için, bu doğrunun üzerindedir.

Tabanı $[k-1,k]$ doğru parçası, yüksekliği $\frac1k$ ($k=n+1,\ldots,2n)$olan yanyana dikdörtgenler bu yamuğun içinde kalır (ve üst üste değildirler). Öyleyse onların alanları toplamı yamuğun alanını geçemez . (Bu dikdörtgenler ile yamuğun arasında, en soldaki dikdörtgenin üzerinde  bir yamuk vardır. Bu nedenle, dikdörtgenlerin alanları toplamı yamuğun alanına eşit olamaz)

 Öyleyse, dikdörtgenlerin alanları toplamı<Yamuğun alanı doğru olur.

Dikdörtgenlerin alanları toplamı $\sum\limits_{k=n+1}^{2n}\frac1{k}$ ve yamuğun alanı $\frac34$ olduğu için eşitlik gösterilmiştir.

Ek 1: $f(k)>\frac1k$ eşitsizliği şöyle de gösterilebilir:

$g(x)=\frac1x$ fonksiyonu $(0,+\infty)$ aralığında konveks (çünki $g''(x)>0$) olduğundan $y=\frac1x$ eğrisi $[n,2n]$ aralığında, uçlarında geçen kirişinin ($y=-\frac x{2n^2}+\frac3{2n}$ doğrusunun)  altında kalır.

Ek 2: İntegral ile kolayca $\sum\limits_{k=n+1}^{2n}\frac1{k}<\ln2$ olduğu görülür. $\ln2<\frac34$ olduğunu göstermek biraz uğraştırır. 

Comments

İntegral kullanarak o dizinin limitinin $\ln2$ olduğu da görülüyor