Harmonik serinin ıraksaklığını ispatlayan elementer yöntemleri yazalım.

Question

Metod 1:

$H=\displaystyle\sum_{i=1}\dfrac1i=1+\dfrac12+\dfrac13+\dfrac14+...+...+\dfrac1n+.....$

Yukardaki toplamdaki her terim için aşşağıda daha küçük terimler verilmiştir.

$S=1+\dfrac12+\dfrac14+\dfrac14+\dfrac18+\dfrac18+\dfrac18+\dfrac18+...+\underbrace{\dfrac1{2^n}+..+\dfrac1{2^n}}_{2^{n-1}\;tane}+.....$

Ve buradan 

$S=1+\dfrac12+\dfrac12+\dfrac12+\dfrac12+\dfrac12+..=\infty$

$H>S=\infty$ olduğundan $H$ ıraksar.

Metod 2:

$H=\displaystyle\sum_{i=1}\dfrac1i=1+\dfrac12+\dfrac13+\dfrac14+...+...+\dfrac1n+.....$

$H\ge S=1+\dfrac12+\underbrace{\dfrac14+\dfrac14}_{1/2}+\underbrace{\dfrac16+\dfrac16}_{1/3}+\underbrace{\dfrac18+\dfrac18}_{1/4}+\underbrace{\dfrac1{10}+\dfrac1{10}}_{1/5}+...+...+\underbrace{\dfrac1{2n}+\dfrac1{2n}}_{1/n}+.....=\dfrac12+H$


Ayrı sorulacak soru 1:

Eğer, $r\in\mathbb R^+$  olmak üzre;

$(H\ge H+r)$  önermesi doğru ise $H=\pm\infty$ diyebilir miyiz?

Soru linki:http://matkafasi.com/102432/eger-mathbb-olmak-uzre-onermesi-dogru-infty%24-diyebilir-miyiz

Ayrı sorulacak soru 2:

$S=1+\dfrac12+\dfrac14+\dfrac14+\dfrac18+\dfrac18+\dfrac18+\dfrac18+...+\underbrace{\dfrac1{2^n}+..+\dfrac1{2^n}}_{2^{n-1}\;tane}+.....$

Böyle bir $S$ toplamı için genel terim $\displaystyle\sum a_i$ nasıl verilir ? 

veya 

$\{b_n\}=\underbrace{1}_{b_{1}},\underbrace{\dfrac12}_{b_{2}},\underbrace{\dfrac14}_{b_{3}},\underbrace{\dfrac14}_{b_{4}},\underbrace{\dfrac18}_{b_{5}},\underbrace{\dfrac18}_{b_{6}},\underbrace{\dfrac18}_{b_{7}},\underbrace{\dfrac18}_{b_{8}},...,\underbrace{\dfrac1{2^{n-1}}}_{b_{2^n}},..$

İçin $b_n$ nasıl verilir?

Soru linki:http://matkafasi.com/102438/serilerde-buyukluk-kucukluk-kullanilan-terimi-tanimlariz

Ama asıl soru olarak başka hangi elementar metodlarla harmonik serinin ıraksaklığı ispatlanır?

Comments

Ben bu tarz sorularda $\cdots$'dan anlamiyorum. Cunku sonlu toplamin limitini alacagiz. Bir serinin $n$ ve diger serinin $f(n)$ terim toplamini karsilastirmak ne kadar saglikli mesela? ikinci yontemin icin sorum budur.

---

genel terimi bulsam o sorun cozulcek bir ugrasicagim

---

ikinci methoddaki $S$ icin genel terimi bulmak kolay. 

Answer 1

$1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\cdots$ toplamı sonlu bir $H$ sayısına eşit olsun. $$H=(1+\dfrac{1}{2})+(\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4})+(\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{6})+\cdots \gt 2\cdot\dfrac{1}{2}+2\cdot\dfrac{1}{4}+2\cdot\dfrac{1}{6}+\cdots =1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\cdots=H$$  olur ve buradan $H\gt H$ çelişkisine ulaşırız.

Serinin elemanlarını üçer üçer, dörder dörder,... parantezleme yaparak da benzer çelişki elde edilebilir.

Answer 2

$H=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\cdots$ serisinin terimlerini aşağıdaki şekilde gruplayalım: $$H=(1+\dfrac{1}{2}+\cdots +\dfrac{1}{10})+(\dfrac{1}{11}+\cdots +\dfrac{1}{99})+(\dfrac{1}{100}+\dfrac{1}{101}+\cdots +\dfrac{1}{999})\ge 9\cdot \dfrac{1}{10}+90\cdot \dfrac{1}{100}+900\cdot \dfrac{1}{1000}+\cdots=\dfrac{9}{10}+\dfrac{9}{10}+\dfrac{9}{10}+\cdots$$  olduğundan  $H=\infty$ olur.

Answer 3

Metod 3:


Önerme: 

$(x_n)_n$ artarak sonsuza ıraksayan bir diziyse;

$$\displaystyle\sum_{i=0}^\infty \dfrac{x_{i+1}-x_i}{x_{i+1}}$$

serisi ıraksaktır.

$x_i=i$ için;


$$\displaystyle\sum_{i=0}^\infty \dfrac{x_{i+1}-x_i}{x_{i+1}}=\displaystyle\sum_{i=1}^\infty \dfrac{1}{i}$$

Iraksar.

Önermenin İspatı:

Cauchy dizi mantığını kullanarak, bunun bir cauchy olmadığını göstererek yakınsak olmadığını göstereceğiz, $n>m$ için;

$$\displaystyle\sum_{i=m}^n \dfrac{x_{i+1}-x_i}{x_{i+1}}\ge \sum_{i=m}^n \dfrac{x_{i+1}-x_i}{x_{n+1}}\ge \dfrac{x_{n+1}-x_m}{x_{n+1}}=1-\dfrac{x_m}{x_{n+1}}$$


$(x_n)_n$ artan bir dizi olduğundan ve $n>m$ olduğundan dolayı son ifade $\forall\epsilon>0$ için sağlanmaz dolayısıyla ıraksar.

Comments

"Bir dizi Cauchy değilse yakınsak da olamaz."

İspat:

Tüm Cauchy dizileri yakınsaktır, tüm yakınsak diziler Cauchydir, bir dizi Cauchy olmayıp da yakınsak olamaz eğer olsaydı zaten "yakınsak diziler Cauchy olur" önermesinden dolayı Cauchy olurdu.$\Box$