Her şeyden önce aşağıdaki iki eşitliği hatırlayarak başlamak muktezâyı tahlîle mutâbık olacaktır.
$$1+\tan^2 x =\sec^2 x$$
$$[\tan x]' =1+\tan^2 x =\sec^2 x$$
Şimdi, bizden cevabı istenen integralin pay ve paydasını $\cos^6 x$ ile bölelim. O halde,
$$\int \frac{\sec^6 x}{1+\tan^6 x} dx$$
integralini elde ederiz. Bu noktada, $\tan x =u$ değişken değiştirmesini yapalım. $\sec^2 x dx = du$ elde edilmiş olur. Ayrıca, $\tan x =u$ ise $\tan^2 x =u^2$ aynı zamanda $1+\tan^2 x =u^2 +1$ elde edilir. Diğer bir ifadeyle $\sec^2 x =u^2+1$ olarak yazılabilir. Yukarıdaki integrali $u$ değişkeninde aşağıdaki şekilde düzenleyebiliriz,
$$\int \frac{(\sec^2 x)^2 \sec^2 x}{1+(\tan x)^6}dx=\int \frac{(1+u^2)^2}{1+u^6}du$$
Bu aşamada pay ve paydayı çarpanlarına ayıralım.
$$\int \frac{(1+u^2)^2}{(u^2)^3 +(1^2)^3}du = \int \frac{(1+u^2)(1+u^2)}{(1+u^2)(u^4-u^2+1)}du= \int \frac{1+u^2}{u^4-u^2+1}du$$
elde ederiz. Bir sonraki adım olarak hem payı hem de paydayı $u^2$ parantezine alalım.
$$\int \frac{u^2(1+\frac{1}{u^2})}{u^2(u^2-1+\frac{1}{u^2})}du=\int \frac{1+\frac{1}{u^2}}{u^2-1+\frac{1}{u^2}}du=\int \frac{1 + \frac{1}{u^2}}{(u-\frac{1}{u})^2+2-1}du$$
Paydadaki $u-\frac{1}{u}$ ifadesini $v$ değişkeni olacak şekilde integrali tekrar düzenleyelim. Bu durumda,
$$u-\frac{1}{u}=v \quad \Rightarrow \quad (1+\frac{1}{u^2})du=dv$$ elde ederiz.
O halde,
$$\int \frac{1}{v^2+1}dv=\tan^{-1} v + c, \quad c \in \mathbb{R}$$ olur.
Tüm değişkenleri sırasıyla yerine koyarsak, $(v=u-\frac{1}{u})$ ve $(u=\tan x)$
$$\int \frac{1}{\sin^6 x + \cos^6 x}dx =\tan^{-1} \left(\tan x - \frac{1}{\tan x} \right)+c, \quad c \in \mathbb{R}$$
Son olarak, 0'dan 1'e belirli integralini hesaplayacağız. Lakin burada 0 noktasında bir belirsizlik söz konusudur. Bu sebepten dolayı 0'a sağdan limitin olup olmadığı bizim için önemli olacaktır. İntegralin değeri,
$$\tan^{-1} \left( \tan 1 - \cot 1 \right)- \lim_{s \to 0^{+}} \tan^{-1} \left(\frac{\tan^{2} s -1}{\tan s} \right)$$
$$\tan^{-1} \left( \tan 1 - \cot 1 \right)- \tan^{-1} \left[ \lim_{s \to 0^{+}} \left(\frac{\tan^{2} s -1}{\tan s} \right) \right]$$
$$\lim_{s \to 0^{+}} \left(\frac{\tan^{2} s -1}{\tan s} \right) \quad \Rightarrow \quad -\frac{1}{0^{+}} =-\infty$$
$$\int_{0}^{1} \frac{1}{\sin^6 x + \cos^6 x}dx = \tan^{-1} \left( \tan 1 - \cot 1 \right)- \lim_{w \to -\infty} \tan^{-1} w$$
Sonuç olarak,
$$\int_{0}^{1} \frac{1}{\sin^6 x + \cos^6 x}dx = \boxed{\tan^{-1} \left( \tan 1 - \cot 1 \right)+\frac{\pi}{2} \approx \textbf{2.312}}$$
değeri bulunmuş olur.