$2^n$, verilen herhangi bir ($0$ ile başlamayan) rakam dizisi ile başlayacak şekilde, bir $n$ doğal sayısının varlığını gösteriniz.

Question

(Sıfır ile başlamayan) bir rakamlar dizisi verilsin. $2^n$, bu dizi ile başlayacak şekilde, bir $n$ doğal sayısının varlığını gösteriniz.

Örneğin:
5 sayısı için: $2^9=\mathbf{5}12$

12 sayısı için $2^7=\mathbf{12}8$

204 sayısı için $2^{11}=\mathbf{204}8$

Comments

baz $2$ de dogru degil ?
sanirim $b$ bazinda dogru olmasi icin $log_b{2}$ nin irrasyonel olmasi lazim

---

Rakam dizisi ve $2$ nin kuvvetinin 10 tabanında yazıldığı varsayılıyor.

---

Baz $2$ ise $1=2^0$ ile başlamalı. Bu nedenle orda da doğru.

---

Baz $2$ ise, $2^n$ her zaman $(1,0,0,0,\cdots)$ seklinde olacak. $1101$ gibi bir dizi ile baslamayacak hic bir zaman $2^n$. Yaniliyor muyum ?

---

Benim anladığım bana bir (pozitif tam) sayı ver (rakam dizisi ile aynı). Bu sayının başlangıcı bir $n$ için $2^n$ ile başlar.

$10$ tabanı ile düşünürsek $1,2,4,8$ ile başlayan her sayı $2^0,2^1,2^2,2^3$ ile başlar. Mesela $16\ldots$ olarak devam eden hem $2^0$ hem $2^4$ ile başlar.

---

İyi ifade edemedim sanırım. Ben tersini kast ettim.
"$2^n$, verilen sayı (rakam dizisi) ile başlar"

12 sayısı verilsin: $2^7=\mathbf{12}8$
5 sayısı verilsin: $2^9=\mathbf{5}12$,
204 sayısı verilsin: $2^{11}=\mathbf{204}8$

---

Şu sorudaki sonucu kullanmak gerekiyor.
(Bunu önceden belirstseydim daha iyi olurdu)

Answer 1

    Verilen sayıya $m\in\mathbb{N}^+$ diyelim.
     $2^n$ nin $m$ ile başlaması, bir $k\in\mathbb{N}$ için, $ m\,10^k\leq2^n<(m+1)10^{k}$ olması demektir.
    $10$ tabanında logaritma kullanırsak, bu eşitsizlik,
    $\log m\leq n\log2-k<\log(m+1)$ olması demektir.
    Burada, ($\log2>0$ ve irrasyonel olduğu için) $n\log2-k\in (\log m,\log(m+1))$ olacak şeklide en az bir çift $n,k\in\mathbb{N}$ vardır.

(Bu önermenin doğruluğununu, şu soruda göstereceğiz.). Bu $n$ için, $2^n,\ m$ ile başlar.