Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
1.2k kez görüntülendi

$\mathbb{Q},\ \mathbb{R}$ de yoğun olduğu için, verilen her gerçel sayı için, o sayıya yakınsayan (ama tüm terimleri o sayıdan farklı) bir rasyonel sayı dizisi vardır. 

Verilen sayı rasyonel ise, böyle bir dizi oluşturmak çok kolaydır:

$a\in\mathbb{Q}$ ise $x_n=a+\frac1n$ böyle bir dizi olur.

Ama verilen sayı irrasyonel ise böyle bir diziyi gerçekten oluşturmak zor görüyor ama aslında öyle değil. 

$a\notin\mathbb{Q},\ (a\in\mathbb{R})$ verilsin:

$\forall n\in\mathbb{N}^+$ için $ x_n=\frac{\lfloor na\rfloor}n$ olsun. ($\lfloor\ \rfloor$: tam değer fonksiyonu)

$\forall n\in\mathbb{N}^+$ için $x_n\in\mathbb{Q}$ olduğu (bunun sonucu olarak $x_n\neq a$ olduğu) aşikardır.

$\displaystyle\lim_{n\to +\infty} x_n=a$ olduğunu gösterin.


Lisans Matematik kategorisinde (6.2k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 1.2k kez görüntülendi

Bazı fonksiyonların bir noktada limitinin var olmadığını göstermek için böyle bir diziye gereksinim duyarız.

$a\in\mathbb{Q}$ ise $x_n=a$ (sabit) dizisi de var ama bazan (örneğin limit problemlerinde) terimlerin $a$ dan farklı olması istenebilir.

1 cevap

2 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

$na-1<[|na|]\leq na$  olduğunu biliyoruz.  Her tarafı $n\in \mathbb{N^+}$ ile bölersek yön değişikliği olamayacaktır. 

$\frac{na-1}{n}<\frac{[|na|]}{n}\leq \frac{na}{n}$ olur. Şimdi her tarafın limitini alalım.

$\displaystyle\lim_{n\to +\infty} \frac{na-1}{n}<\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\frac{[|na|]}{n}\leq \displaystyle\lim_{n\to+\infty}\frac{na}{n}$     ve 

$a<\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\frac{[|na|]}{n}\leq a$ olacaktır. Sıkıştırma teoreminden dolayı 

$\displaystyle\lim_{n\to+\infty}x_n=\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\frac{[|na|]}{n}=a$ olacaktır.         

(19.2k puan) tarafından 
tarafından seçilmiş
Çözüm güzel ama bir noktaya itirazım var.

( $\displaystyle\lim_{n\to +\infty} \frac{na-1}{n}<\lim_{n\to+\infty}\frac{[|na|]}{n}\leq\lim_{n\to+\infty}\frac{na}{n}$ ifadesinden dolayı)Çözümde (sanki) $\lim x_n$ nin var olduğu kabulü var gibi (görünüyor).

O limitin var olup olmadığını henüz bilmiyoruz.

Aslında, Sıkıştırma Teoreminde öyle bir varsayım da yoktur, limitin var olduğu(ve ne olduğu) teoremin sonucudur (bu da Sıkıştırma Teoreminin en güzel tarafıdır).

Şöyle olsa mükemmel olur:

$\frac{na-1}{n}<\frac{[|na|]}{n}\leq \frac{na}{n}=a$ olur.

dan sonra:

$\displaystyle \lim_{n\to +\infty} \frac{na-1}{n}=a=\lim_{n\to +\infty} a$

olduğundan, Sıkıştırma Teoreminden,

$\displaystyle \lim_{n\to+\infty}x_n=\lim_{n\to+\infty}\frac{[|na|]}{n}=a$ olur.

$\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\frac{na-1}{n}<\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\frac{[|na|]}{n}\leq \displaystyle\lim_{n\to +\infty}(\frac{na}{n}=a)$ yazımından $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\frac{[|na|]}{n}$ 'nin varlığını kabul ettiğimi siz nasıl anladınız ki? Oysa ben $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\frac{[|na|]}{n}$ nin var olup olmadığını bilmiyorum, ama eğer varsa bu limit değerinin mutlaka $(\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\frac{na-1}{n},\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\frac{na}{n}]=(a,a]$ aralığında olduğunu düşünerek yazdım. Belki işin başında biz bu limitin var olup olmadığını bilmiyoruz diye yazsaydım iyi olurdu. Ama gerek görmedim çünkü biz zaten bu limitin var olup olmadığını varsa değerinin kaç olduğunu araştırıyoruz.

20,248 soru
21,774 cevap
73,421 yorum
2,150,296 kullanıcı