İç Teğet Çemberli Dik Yamuğun Alanı

Question

İç Teğet çemberi çizilebilen bir dik Yamuğun alanının alt ve üst tabanları çarpımı olduğunu kanıtlayınız. 

İlgili soru

Comments

$\frac1r=\frac1a+\frac1c$ 'formül'ü de verilebilir.

---

Evet, iç teğet çemberli dik yamukta çap, alt ve üst taban uzunluklarının harmonik ortasıdır. Sonuç olarak, bir yamukta köşegenlerin kesim noktası bu noktadan geçen ve tabanlara paralel olan doğru parçasını  $r=\dfrac{ac}{a+c}$ uzunluğunda iki eş parçaya böldüğünden dolayı bu  noktanın tabanları birleştiren çap üzerinde olduğu da söylenebilir.

Answer 1

$ABCD$ bir dik yamuk, iç teğet çemberin yarıçapı $r$, $AB=a$, $CD=c$, $CK \perp AB$ olsun.

Bu takdirde $AF=DE=r$, $h=CK=2r$, $EC=CH=c-r$, $FB=BH=a-r$ ve $BK=a-c$ dr.

$\triangle CKB$ de pisagor teoremi uygulayalım.

$(a+c-2r)^2=(2r)^2+(a-c)^2$

$a^2+c^2+4r^2+2ac-4ar-4cr=4r^2+a^2-2ac+c^2$

$4ac=4ar+4cr$

$ac=r(a+c)$

$A(ABCD)=\frac{(a+c)h}{2}=\frac{(a+c)2r}{2}=(a+c)r=ac$

Answer 2

Çözüm:ahmedsyldz

$AB \parallel DC$ ve $AD \perp DC$ olan $ABCD$ dik yamuğunda, merkezi $O$ noktası ve yarıçapı $r$ olan iç teğet çemberin $|AB|$, $|BC|$, $|CD|$ ve $|DA|$ kenarlarına teğet olduğu noktalar sırasıyla $E$, $F$, $G$ ve $H$ olsun. Bu durumda $|EA| = |AH| = |HD| = |DG| = r$, $|CF| = |CG|$ ve $|EB| = |BF|$ olur. $|OB|$ ve $|OC|$ çizilirse $\angle BOC = 180^\circ - \frac{\angle ABC + \angle BCD}{2} = 90^\circ$ olur ve Öklid'ten $*(|OF|^2 = r^2 = |BF|.|CF|)$ gelir. Bu durumda yamuğun alanı $|AD|(|AB| + |DC|)/2 = r(2r + |EB| + |GC|) = r^2 + r(|EB| + |GC|) + |EB|.|GC|$ (* eşitliği) $ = (r + |EB|)(r + |GC|) = |AB|.|DC|$ olur.