Çözüm: 
Lokman Gökçe
Euler'in kendi ispatını, çalışmasında kullandığı orijinal çizimiyle beraber sunacağız:
Teorem: $ABCD$ dörtgeninde $[AC]$, $[BD]$ köşegenlerinin orta noktaları sırasıyla $P$ ve $Q$ olsun. Bu durumda aşağıdaki bağıntı geçerlidir:
$$ |AB|^2 + |BC|^2 + |CD|^2 + |DA|^2 = |AC|^2 + |BD|^2 + 4|PQ|^2 .$$
İspat: $ABCE$, $CDAF$ paralelkenarlarını çizelim. $P$, $[AC]$, $[BE]$, $[DF]$köşegenlerinin orta noktalarıdır. Böylece $PQ\parallel BF$, $|BF|=2|PQ|$ ve $PQ\parallel DE$, $|DE|=2|PQ|$ olur. Böylelikle $BDEF$ dörtgeni de bir paralelkenar olur. $CDAF$, $BDEF$, $ABCE$ dörtgenlerinde paralelkenar kanunu uygulanırsa,
$$
\begin{array}{rcl}
2(|CD|^2 + |DA|^2) & = & |DF|^2 + |AC|^2 \\
2(|AB|^2 + |BC|^2) & = & |AC|^2 + |BE|^2 \\
2(|BD|^2 + |DE|^2) & = & |DF|^2 + |BE|^2.
\end{array}
$$
Bu eşitliklerden (taraf tarafa ilk ikisini toplayıp üçüncüsünü çıkararak) $|AB|^2 + |BC|^2 + |CD|^2 + |DA|^2 = |AC|^2 + |BD|^2 + |DE|^2$ elde edilir. $|DE|=2|PQ|$ olduğu hatırlanırsa aranan eşitliğe ulaşılır.
Not: Buradaki $PQ$ uzunluğu, dörtgenin paralelkenara ne kadar benzediğinin bir ölçüsüdür. $PQ$ uzunluğu $0$ a yaklaştıkça dörtgen paralelkenara daha çok benzer.