$(f (x))^2=f (2x)+2f (x)+\dfrac 12$ ve $f(1)=2$ ise $f (3)=?$

Question

Pozitif reel sayılarda tanımlı bir $f$ fonksiyonu için  $(f (x))^2=f (2x)+2f (x)+\dfrac 12$   ve $f(1)=2$ ise  $f (3)=?$

Comments

$(f (x))^2=f (2x)+2f (x)-2$ olsa daha mı iyi olurdu?

---

Sorunun orijinali bu şekilde. 

---

$n$ bir tam sayı iken $f(2^n)$ değerlerini hesaplayabiliyoruz. $3$ sayısı, $2^n$ formunda olmadığı için verilenlerle hesaplanamaz diye düşünüyorum.

---

Kaçıncı sınıf düzeyinde sorulmuş acaba?

---

Üniversite sınavına hazırlık düzeyinde hocam. Fonksiyonlar şu anda lise kaçta anlatılıyor bilmiyorum ama.

---

Hocam $(f (x))^2=f (2x)+2f (x)-2$ olsaydı   $g(x)=f(x)-1$ olmak üzere $g(2x)=(g(x))^2$ bulunurdu. $g(x)=a^x$ bu denklemi sağlar (başka çözümleri var mı bilmiyorum) fakat $f(1)=2$ verisinden $a=1$ olacağından $f(x)=1$ olur.

---

Ben de onu fark ettiğim için $\frac12$ yi $-2$ ile değiştirdim.
(Ama, o durumda, süreksiz başka çözümler de var)

---

$g(2x)=(g(x))^2$ denklemi için $f(1)=2$  verisini $f(1)=3$ olarak değiştirirsek $a=2$ olur.

O zaman $f(x)=g(x)+1$ olmak üzere  $g$ fonksiyonu aşağıdaki gibi de  tanımlanabilir sanırım:(Lokman Gökçe'nin örneği)

 

$g(x)= \left\{\begin{array}{cc} 1, & x= 3\cdot 2^n , n\in \mathbb Z & \mbox{ biçimindeki değerlerde } \\ 2^x , &  & \mbox{ diğer değerlerde} \end{array} \right.$

 

Orijinal soruda bulunan $g(2x)=(g(x))^2-\frac52$ fonksiyonel denklemi için de yukardaki gibi benzer bir $g$ fonksiyonu tanımlanabilir mi?

Answer 1

Önce hatalı çözümü verelim:

$f(x+y)=f(x)f(y)-[f(x)+f(y)]-1/2$  denklemini göz önüne alalım.

Eğer  bu fonksiyonel denklemde $y=x$ alırsak bize verilen fonksiyonel denklemi elde ederiz.  Buna göre $x=y=1$ alırsak $f(2)=-1/2$ bulunur. Yine bu denklemde $x=1, y=2$ alınırsa $f(3)=-3$  bulunur.

Bu yanıtın yanlış olduğunu hızlıca şöyle görebiliriz: $f(3)=-3$ olsun. $f(4)$ değeri çözümde kullanılan fonksiyonel denklemden hesaplanırsa $f(4)=-11/2$, fakat soruda verilen fonksiyonel denklemden hesaplanırsa $f(4)=3/4$ bulunur.

Soruda verilen $f(2x)$ fonksiyonel-denkleminden çözümde kullanılmış olan$f(x+y)=f(x)f(y)-[f(x)+f(y)]-1/2$ denklemi elde edilemiyorsa, $f(x+y)$ denklemini kullanamamız doğru olmaz. $f(2x)$ denkleminin her çözümü $f(x+y)$ denklemini sağlar fakat bunun tersinin olacağının bir garantisi yok. Yani $f(2x)$ denkleminin çözümleri $f(x+y)$ denkleminin çözümlerinin alt kümesidir; $f(x+y)$ denkleminden $f(2x)$ elde edilebiliyor fakat $f(2x)$ den $f(x+y)$ elde edilemiyor, dolayısıyla verilen çözümde yanlış yönde gidilmiş. Bir $a>0$ sayısı ve bir $n$ tamsayısı için eğer $f(a)$ değeri biliniyorsa verilen fonksiyonel-denklemden $f(a. 2^n)$ biçimindeki değerleri $(f(2x),f(4x),...\text{gibi})$ bulabiliriz, dolayısıyla $f(1)=3$ verisi bize $f(3)$ değerini bulduramaz.

$f(2x)=(f(x)-1)^2 - 3/2$ ve $g(x) =f(x) - 1$ dersek denklem $g(2x)=g^2(x)- 5/2$ şeklinde yazılabilir. Fonksiyonel denklem $f(x)\ge  3/2$ için

$f(x/2)=1+\sqrt{f(x) +3/2}$ olarak da yazılabilir.

Answer 2

Çözüm: Metin Aydemir

Bir bağıntı tanımlayalım.

$$R=\{(x,y)\in\mathbb{R}^+:\exists k\in\mathbb{Z},\quad x=y\cdot 2^k\}.$$ Şimdi bu bağıntının denklik bağıntısı olduğunu gösterelim (equivalence relation).

1. Her $x\in\mathbb{R}^+$ için $(x,x)\in R$'dir.
2. Eğer $(x,y)\in R$ ise $(y,x)\in R$'dir.
3. Eğer $(x,y),(y,z)\in R$ ise $(x,z)\in R$'dir.

Bu şartlar doğru olduğundan $R$ bir denklik bağlantısıdır. Verilen fonksiyonel denklem, sadece $f(x)$ ve $f(2x)$ değerlerini kullandığından, önceden bilinen bir $x_0$ için $x_0$'ın denklik sınıfındaki değerleri verecektir. Örneğin, $f(1)=2$ bilindiğinden sadece $1$'in denklik sınıfından değerleri bulabiliriz. $\dots,\frac{1}{4},\frac{1}{2},1,2,4,\dots,$ değerlerini bulabiliriz ancak $3$, bu denklik sınıfında olmadığından onu bulamayız. Yani, $f(3)=2$ de olabilir, $3$ de olabilir, başka değerler de olabilir. Sanırım, $f(2x)=(f(x)-1)^2-3/2$ olduğundan $-\frac{3}{2}$'den büyük her değer olabilir.

Soruyu doğru hala getirebilmek için ya $f(3)$ yerine $1$ ile aynı sınıfta olan bir sayıyı sormak lazım, ya da farklı sınıflar arasında ilişki kurmamızı sağlayan bir koşul lazım (süreklilik koşulu gibi).