$f(x-y)\cdot f(y) =f(x)$, $f(5)=32$ ise $f(7)$ kaçtır?

Question

$f(x-y)\cdot f(y) =f(x)$, $f(5)=32$ ise $f(7)=?$

Answer 1

Kaynaklardan öğrendiğimize göre; eğer hiçbir ek koşul konulmazsa Cauchy temel denkleminin (diğer Cauchy denklemleri de bu denkleme indirgenebildiğinden bu kapsamda) $f(x)=cx$ çözümleri dışında, sonsuz çoklukta "patolojik" çözümleri(bir kaynakta bu çözümler "ugly" olarak anılıyor) olduğu biliniyor-süreklilik yoksa rasyonel sayılar kümesinde çözümler yine $f(x)=cx$ şeklinde-. Bu çözümler son derece garip davranışlara sahiptir:çözümlerin herbirinin grafiği $\mathbb{R^2}$ düzleminde yoğundur, yani düzlemde her noktanın  her komşuluğunda grafiğe ait sonsuz nokta vardır ve bu çözümler ölçülemez, ne türevlenebilir ne de süreklidir.(Mathematics Magazine, Vol. 91, No. 1 (February 2018), pp. 37-41 (5 pages) ) Bu sürekli olmayan çözümlerin varlığı, 1905 yılında George Hamel tarafından, Seçme Aksiyomuna dayanan ve kendi ismiyle anılan Hamel Tabanı kavramı kullanarak tanımlanmış. Bu çözümlerden kurtulmak için $f$ fonksiyonu sürekli (hatta bir noktada sürekli olmasının yeterli olduğu da gösterilmiş) kabül ediliyor. Bu özelliğe denk olarak genel çözümün $f(x)=cx$ olması için $f$ nin herhangi bir aralıkta monoton olması veya herhangi bir aralıkta alttan veya üstten sınırlı olması da yeterli. Hatta $f$ fonksiyonu bir noktanın komşuluğunda Lebesque anlamında integrallenebilir ise genel çözüm $f(x)=cx$ şeklindedir (Banach 1920).

Answer 2

Çözüm Metin Can Aydemir'e aittir:

$y=\frac{x}{2}$ seçersek, $f^2\left(\frac{x}{2}\right)=f(x)\geq 0$ olacaktır. Eğer $f(a)=0$ ise $$0=f(5-a)\cdot f(a)=f(5)$$ olacağından $f(5)\neq 0$ olmasıyla çelişir ve $f(x)>0$ buluruz. $f(x)=e^{g(x)}$ veya $g(x)=\ln f(x)$ olacak şekilde bir $g$ fonksiyonu vardır. Bu dönüşümle, $$g(x-y)+g(y)=g(x)$$ ve $g(5)=\ln 32$ elde ederiz. Bu eşitlikte $x\to x+y$ yazarsak, $g(x)+g(y)=g(x+y)$ elde ederiz. Bu Cauchy fonksiyonel eşitliğidir ve çözümü $c$ bir sabit olmak üzere [b][u]rasyonel sayılarda[/u][/b] $g(x)=cx$ formatındadır. $g(5)=5c=\ln 32=5\ln 2$ olduğundan $c=\ln 2$ ve $x$ rasyonel sayıları için $g(x)=x\ln 2$ ve $f(x)=2^x$ bulunur. Dolayısıyla, $f(7)=2^7=128$'dir.

Bu genel bir çözümdü. $\mathbb{R}$ yerine $\mathbb{Q}$'da tanımlı bir fonksiyon verilseydi (tabi $\mathbb{R}$ olduğunu ben varsaydım :) ) veya sürekli olduğunu bilseydik tüm çözümlerin $f(x)=2^x$ olduğunu söyleyebilirdik. Daha basit ve genel çözümle ilgilenmeyen bir çözüm de verebiliriz,

Basit Çözüm: Verilen eşitlikte $y=1$ koyarsak, $f(x-1)f(1)=f(x)$ elde ederiz. Dolayısıyla, $$f(5)=f(4)f(1)=f(3)f(1)^2=\cdots=f(1)^5\implies f(1)=2$$ elde edilir. Benzer şekilde $$f(7)=f(6)f(1)=f(5)f(1)^2=32\cdot 2^2=128$$ elde edilir.