Question

$\forall x,y\in\mathbb{Q}^+$ için $f(xf(y))=\dfrac{f(x)}y$ koşulunu sağlayan bir $f:\mathbb{Q}^+\to\mathbb{Q}^+$ fonksiyonu bulunuz.

Uluslarası Matematik Olimpiyatlarında sorulmuş bir soru.

Comments

Bulabildiklerimi yazayım:

$y=1$ için  $f(xf(1))=f(x)$ olduğundan $f(1)=1$

$x=1$ için $f(f(y))=\dfrac{f(1)}{y}=\dfrac{1}{y}$

$f(xf(y))=\dfrac 1y\cdot f(x)=f(f(y))\cdot f(x)$ olduğundan $f$ çarpımsal fonksiyon yani $f(xy)=f(x)f(y)$ olur.

Ayrıca verilen denklemde $y$ yerine $f(y)$ yazarsak $$f(xf(y))=\dfrac{f(x)}{y}$$   $$f(xf(f(y)))=\dfrac{f(x)}{f(y)}$$   $$f(\dfrac{x}{y})=\dfrac{f(x)}{f(y)}$$ eşitliğini de bulabiliriz.

---

@alpercay
"y=1 için  f(xf(1))=f(x) olduğundan f(1)=1"
için önce f nin 1-1 olduğunu (veya başka bir şeyler) göstermek gerekmez mi?

f nin çarpımsal olduğunu göstermek iyi bir başlangıç. Biraz daha ileri götürebilirsin.

---

Bire-birliği gösterelim:

$$f(y_1)=f(y_2)\implies f(f(y_1))=f(f(y_2))\implies \frac{f(1)}{y_1}=\frac{f(1)}{y_2}\implies y_1=y_2$$

---

Bir $y=\frac ba\in\mathbb{Q^+}$ için $f(f(\frac ba))=\frac ab$ yani $f(\frac{b}{a})\to \frac{a}{b}$ olduğundan fonksiyon örtendir de aynı zamanda.$f(f(x))=\frac 1x$ ve $f(xy)=f(x)f(y)$ eşitliklerini sağlayan bir $f$ fonksiyonu inşa etmek lazım.

---

$f\circ f=f^2=1/x$ olduğundan $f^4=x$ ve $f^{4k}=x$  ve  $f^{4k+2}=1/x$ eşitlikleri de sağlanıyor.

---

Evet, şimdi daha iyi görebiliyorum. Yukarıdaki döngüyü kullanarak asallar için ve pozitif rasyoneller için iki ayrı inşa yapacağız.

---

Bu sorudan şuradaki video yu görünce haberdar oldum. o kişinin videolarını beğeniyorum ama bu videoda bir hata var, ChatGpt ye farklı soru sorulmuş, elbette onun cevabı bu soruda istenen fonksiyon değil. Ama videoyu hazırlayan kişi bunu farketmeyip, "sorunun kolay olduğu" vs. gibi anlamsız yorumlar yapmış. Ben ChatGpt ye bu soruyu doğru şekilde sordum (Soru) yine yanlış yanıt verdi. Yapay Zeka henüz matematik sorularında pek başarılı değil.

---

Benim de takip ettiğim ve başarılı bulduğum bir kanal. Fakat soru sahibine kadar bilip doğru yanıtın kontrol edilmemesi ilginç. Doğru çözüm için oraya bir link koydum.

---

Yaptığım yorum silinmiş,

---

Alper hocam yorumunuz silinmemiştir ancak link verdiyseniz YouTube otomatik olarak spam gibi algılayıp 'inceleme için bekletilenler' kutusuna taşıyor. Orada da kanal yöntemi tarafından uzun süre incelenmeden kalabilir.

Ben link kullanmadan kanala bir uyarı yorumu yazdım. Öte yandan videoyu biraz daha dikkatle incelediğimde, videoda sorulan sorunun da pek kolay olmadığını söylemeliyim. O sorunun ($f(xf(y)) = f(x)y$) iki çözümü $f(x)=x$ ve $f(x)=\dfrac{1}{x}$. Fonksiyonel denklemin başka çözümleri var mı henüz bilmiyorum. ChatGPT demiş ki fonksiyonel denklemde $f(x)=\dfrac{1}{x}$ yazarsak sağlar. Çözüm dediğimiz şey bu kadar basit olsa bizim Türk öğrenciler de dahil tüm öğrenciler $f(x) = x$ aşikar çözümünü görüp tam puan alırdı.

---

Bu konu ve yapay zekanın olimpiyat soruları çözümü ile ilgili bir video hazırladım. Bu sayfadan faydalandığım için Doğan, Alper ve Metin Can hocalarıma da referans vererek matematik kafası sitesinden bahsettim: Video linki

Answer 1

(Metin Can Aydemir'in katkıları ile)

$x=1$ için $f(f(y))=\dfrac{f(1)}{y}$

$f(y_1)=f(y_2)\implies f(f(y_1))=f(f(y_2))\implies \frac{f(1)}{y_1}=\frac{f(1)}{y_2}\implies y_1=y_2$ olduğundan fonksiyon 1-1 dir.

 Bir $y=\frac ba\in\mathbb{Q^+}$ için $f(f(\frac ba))=\frac ab$ yani $f(\frac{b}{a})\to \frac{a}{b}$ olduğundan fonksiyon örtendir de aynı zamanda.

$x=y=1$   için $f(f(1))=f(1)$ ve tersi mevcut olduğundan $f(1)=1$ bulunur. Buna göre $f(f(y))=f^2(y)=\dfrac 1y$ olmalı.

Verilen fonksiyonel denklemde $y$ yerine $f(y)$ yazarsak $$f(xf(f(y)))=f\left(\frac{x}{y}\right)=\frac{f(x)}{f(y)}\implies f(x)=f\left(\frac{x}{y}\right)f(y)$$ elde edilir. $x$ yerine $xy$ yazarsak $$f(xy)=f(x)f(y)$$ eşitliğini elde ederiz, yani $f$ çarpımsal bir fonksiyondur. Buna göre fonksiyonel denklemi $$f(f(y))=\dfrac1y$$  ve $$f(xy)=f(x)f(y)$$ eşitlikleri ile karakterize edebiliriz.

Her pozitif rasyonel sayının pay ve paydası asalların çarpımı olarak tek türlü yazılabileceğinden, fonksiyonu asallar için uygun bir şekilde tanımlamak gerekir. Buna göre bir $p$ asalı için $f(p)=a$ olduğunu varsayarak $f^2(y)=1/y$ dönüşümü altında $$f^2(p)=f(a)=1/p$$ $$f^3(p)=f^2(a)=f(1/p)=1/a$$ $$f^4(p)=f^2(1/p)=f(1/a)=p$$ olduğundan   $$p\mapsto a\mapsto \frac{1}{p}\mapsto \frac{1}{a}\mapsto p$$ şeklinde bir döngü elde edilir.

Buna göre asallardan oluşan  $P=\{p_0,p_1,p_2,p_3,...\}$ kümesi için $p_k$, k-ıncı asalı göstermek üzere $f(p_{2k})=p_{2k+1}$   ve $f(p_{2k+1})=\dfrac 1{p_{2k}}$ olarak tanımlarsak $f$ tüm asallar için tanımlanmış olur.

Sonuç olarak bir $x$ pozitif rasyonel sayısını  $x=\dfrac{r_1^{a_1}r_2^{a_2}\cdots r_k^{a_k}}{q_1^{b_1}q_2^{b_2}\cdots q_t^{b_t}}$ olarak asal çarpanlarına ayırırsak, $$f(x)=\frac{f(r_1)^{a_1}f(r_2)^{a_2}\cdots f(r_k)^{a_k}}{f(q_1)^{b_1}f(q_2)^{b_2}\cdots f(q_t)^{b_t}}$$ ve asallar için yukardaki tanımı kullanarak fonksiyonu tanımlamış oluruz.

Comments

Bu sorudan şuradaki video yu görünce haberdar oldum. o kişinin videolarını beğeniyorum ama bu videoda bir hata var, ChatGpt ye farklı soru sorulmuş, elbette onun cevabı bu soruda istenen fonksiyon değil. Ama videoyu hazırlayan kişi bunu farketmeyip, "sorunun kolay olduğu" vs. gibi anlamsız yorumlar yapmış. Ben ChatGpt ye bu soruyu doğru şekilde sordum (Chatgpt Soru) yine yanlış yanıt verdi. Yapay Zeka henüz matematik sorularında pek başarılı değil.

---

Doğan Hocam, $f^4=f^2\circ f^2=x=I=I^4$,  $f^2=1/x$ olduğunu biliyoruz. Buna göre

$(f^4-I^4)(x)=((f-I)\circ(f+I)\circ (f^2+I^2))(x)=0$

şeklindeki bir yazım doğru olur mu?