$f(f(y))+f(x-y)=f(xf(y)-x)$

Question

Her $x,y$ reel sayıları için

$$f(f(y))+f(x-y)=f(xf(y)-x)$$

koşulunu sağlayan tüm $f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tanımlanmış $f$ fonksiyonlarını bulunuz.

(Baltic Way 2014)

Comments

$x = y = 0 $ icin
$f(f(0)) + f(0) = f(0)$ ediyor

demek ki $f(f(0)) = 0$

$f(f(y)) + f(x-y) = f(xf(y) - x)$ ise
$ f(f(f(y))) + f(f(x-y)) = f(f(xf(y) - x))$ diyebiliriz
$x = y$ dersek
$ f(f(f(x)))  = f(f(xf(x) - x))$ diyebiliriz
Simdi $f$ leri soyalim
$ f(f(x))  = f(xf(x) - x)$
$ f(x)  = xf(x) - x$
​​​​$ f(x)   = \frac{x}{x-1}$

gibi biseyler yaptim ama sonuca ulasamadim henuz

---

"$f(f(y)) + f(x-y) = f(xf(y) - x)$ ise
$ f(f(f(y))) + f(f(x-y)) = f(f(xf(y) - x))$ diyebiliriz
$x = y$ dersek
$ f(f(f(x)))  = f(f(xf(x) - x))$ diyebiliriz
Simdi $f$ leri soyalim"

 

Burada iki sorun var eloi:

i) Her iki tarafın $f$ altında görüntüsünü aldığında $f$ yi toplama üzerine dağıtabilmen için fonksiyon doğrusal olmalı,

ii) $f$ leri soyabilmen için fonksiyonun bire bir olması gerekli.

---

1. sorunu anlamadim.
$a+n = c$ ise
$f(a) + f(n) = f(c)$ degilmidir?

---

ibret olsun diye birakiyorum yorumlarimi suan anladim neden oyle olmadigini

Answer 1

Fonksiyonel denklemde $x=y=0$ alırsak $$f(f(0))=0$$ elde edilir. Denklemde $x=0, y=f(0)$ alırsak $$f(-f(0))=0$$ bulunur. Denklemde $x=y=f(0)$ koyarsak $$f(0)=0$$ elde olunur. Bunları kullanarak ve denklemde $y=0$ yazarak her $x\in\mathbb{R}$ için  $$f(x)=f(-x)$$ olduğu yani fonksiyonun çift olduğu görülür. Yine denklemden $$f(x-y)=f(xf(y)-x)-f(f(y))$$ eşitliğinde $y$ yerine $-y$ yazarak ve fonksiyonun çiftliğini kullanarak $$f(x+y)=f(xf(y)-x)-f(f(y))$$ yani $$f(x+y)=f(x-y)$$ bulunur. Bu eşitlikte $x=y=\dfrac x 2$ için $$f(0)=f(x)=0$$ olduğu bulunur.