Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
Toggle navigation
E-posta veye kullanıcı adı
Şifre
Hatırla
Giriş
Kayıt
|
Şifremi unuttum ne yapabilirim ?
Anasayfa
Sorular
Cevaplanmamış
Kategoriler
Bir Soru Sor
Hakkımızda
Belirsizlik durumundaki bir limit sorusu
0
beğenilme
0
beğenilmeme
108
kez görüntülendi
$\lim_{x \to0} \left(\dfrac{1}{\sin^2 x}-\dfrac{1}{x^2}\right)$
başlangıçta $\infty -\infty$ durumunda olan soru payda eşitleyince $\frac{0}{0}$ belirsizliğine dönüşüyor. Bu durumda 3 kez üst üste L'hospital uyguladım ama sonuca ulaşamadım. Çarpanlara ayırıp ayrı ayrı limitlerine baktım yine belirsizlikle karşılaştım. Arkadaşlardan ilgilenenler olursa sevinirim.
calculus
14 Aralık 2024
Lisans Matematik
kategorisinde
Mehmet Toktaş
(
19.2k
puan)
tarafından
soruldu
14 Aralık 2024
DoganDonmez
tarafından
düzenlendi
|
108
kez görüntülendi
cevap
yorum
$x^2\sin^2x,\ x=0$ da 4 katlı köke sahip olduğu için 4 kez L' Hospital uygulamak gerekiyor.
$\dfrac{x+\sin x}{\sin x}\:\dfrac{x-\sin x}{x^2\sin x}$ şeklinde yazınca, birincinin limiti hemen bulunur, ikinciye 3 kez L' Hospital uygulamak yeterli olur.
Merhaba Dogan Hocam. Ben de 3 kez L'Hopital uyguladım ama sizin belirttiğiniz şekliyle değil. Çarpanlara ayırıp herbir çarpana uyguladım.
Lütfen yorum eklemek için
giriş yapınız
veya
kayıt olunuz
.
Bu soruya cevap vermek için lütfen
giriş yapınız
veya
kayıt olunuz
.
4
Cevaplar
1
beğenilme
0
beğenilmeme
$\lim_{ x \to 0}\left(\dfrac {1}{\sin^2x}-\dfrac1{x^2}\right)=L$ olsun.
$x=2y$ dönüşümü yapalım:
$\lim_{ y \to 0}\left(\dfrac {1}{\sin^22y}-\dfrac1{4y^2}\right)=\lim_{ y \to 0}\left(\dfrac1{4\sin^2y\cdot\cos^2y}-\dfrac1{4y^2}\right)=L$
$=\dfrac14\lim_{ y \to 0}\left(\dfrac1{\cos^2{y}}+\dfrac1{\sin^2{y}}-\dfrac1{y^2}\right)=\dfrac14+\dfrac{L}{4}=L$
$L=\dfrac13$
16 Aralık 2024
alpercay
(
3.1k
puan)
tarafından
cevaplandı
ilgili bir soru sor
yorum
Lütfen yorum eklemek için
giriş yapınız
veya
kayıt olunuz
.
0
beğenilme
0
beğenilmeme
Payda eşitleyip pay ve paydayı $x$ ile genişletelim:
$\lim_{x \to0} \left(\dfrac{1}{\sin^2 x}-\dfrac{1}{x^2}\right)=\lim_{x \to0}\dfrac{x(x-\sin x)(x+\sin x)}{x^3\sin^2x}$
$=\lim_{x \to0}\left(\dfrac{x}{\sin x}\right)\cdot\lim_{x \to0}\dfrac{x+\sin x}{\sin x}\cdot\lim_{x \to0}\dfrac{1-\cos x}{3x^2}$
$=1.\lim_{x \to0}\dfrac{1+\cos x}{\cos x}\cdot\lim_{x \to0}\dfrac{1-\cos x}{3x^2}=1.2.\lim_{x \to0}\dfrac{\sin x}{6x}=\dfrac 13$
16 Aralık 2024
alpercay
(
3.1k
puan)
tarafından
cevaplandı
ilgili bir soru sor
yorum
Lütfen yorum eklemek için
giriş yapınız
veya
kayıt olunuz
.
0
beğenilme
0
beğenilmeme
Metin Aydemir'in çözümü:
Payda eşitleyelim ve $\sin^2{x}=\frac{1}{2}(1-\cos{2x})=\frac{1}{2}\left(\frac{(2x)^2}{2!}-\frac{(2x)^4}{4!}+\cdots\right)$ olduğunu kullanalım. $$\lim\limits_{x\to 0}\left(\frac{x^2-\sin^2{x}}{x^2\sin^2{x}}\right)=\lim\limits_{x\to 0}\left(\frac{x^2-\frac{1}{2}\left(\frac{(2x)^2}{2!}-\frac{(2x)^4}{4!}+\cdots\right)}{x^2\frac{1}{2}\left(\frac{(2x)^2}{2!}-\frac{(2x)^4}{4!}+\cdots\right)}\right)$$ $$=\lim\limits_{x\to 0}\left(\frac{2x^2-\left(\frac{(2x)^2}{2!}-\frac{(2x)^4}{4!}+\cdots\right)}{x^2\left(\frac{(2x)^2}{2!}-\frac{(2x)^4}{4!}+\cdots\right)}\right)$$ $$=\lim\limits_{x\to 0}\left(\frac{\frac{(2x)^4}{4!}-\frac{(2x)^6}{6!}+\cdots}{\frac{(2x)^2x^2}{2!}-\frac{(2x)^4x^2}{4!}+\cdots}\right)=\frac{\frac{2^4}{4!}}{\frac{2^2}{2!}}=\frac{1}{3}.$$
5 gün
önce
alpercay
(
3.1k
puan)
tarafından
cevaplandı
ilgili bir soru sor
yorum
Lütfen yorum eklemek için
giriş yapınız
veya
kayıt olunuz
.
0
beğenilme
0
beğenilmeme
$\lim_{x\rightarrow0}\left(\dfrac{1}{\sin^2x}-\dfrac{1}{x^2}\right)=\lim_{x\rightarrow0}\left(\dfrac{x-\sin{x}}{x^3}\cdot\dfrac{1+\dfrac{\sin{x}}{x}}{\dfrac{\sin^2x}{x^2}}\right)$
$ =2\lim_{x\rightarrow0}\dfrac{1-\cos{x}}{3x^2}=\lim_{x\rightarrow0}\dfrac{\sin^2\frac{x}{2}}{3\cdot\dfrac{x^2}{4}}=\dfrac{1}{3}$
1 gün
önce
alpercay
(
3.1k
puan)
tarafından
cevaplandı
ilgili bir soru sor
yorum
Lütfen yorum eklemek için
giriş yapınız
veya
kayıt olunuz
.
İlgili sorular
Çok değişkenli fonksiyonların limit hesabında 1. Yaklaşım şeklinde belirsizlik bulunması durumunda l'hopital uygulanabilir mi?
Üçgenle ilgili güzel bir limit sorusu.
Enteresan Bir Yakınsaklık Sorusu
Sürtünmesiz ortamda en kısa yol hesabı (güzel bir varyasyon hesabı sorusu)
Tüm kategoriler
Akademik Matematik
738
Akademik Fizik
52
Teorik Bilgisayar Bilimi
31
Lisans Matematik
5.5k
Lisans Teorik Fizik
112
Veri Bilimi
144
Orta Öğretim Matematik
12.7k
Serbest
1k
20,284
soru
21,822
cevap
73,511
yorum
2,577,509
kullanıcı