Processing math: 0%
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
282 kez görüntülendi
lim

başlangıçta \infty -\infty durumunda olan soru payda eşitleyince \frac{0}{0}  belirsizliğine dönüşüyor. Bu durumda 3 kez üst üste L'hospital  uyguladım ama sonuca ulaşamadım. Çarpanlara ayırıp ayrı ayrı limitlerine baktım yine belirsizlikle karşılaştım. Arkadaşlardan ilgilenenler olursa sevinirim.
Lisans Matematik kategorisinde (19.2k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 282 kez görüntülendi
x^2\sin^2x,\ x=0 da 4 katlı köke sahip olduğu için 4 kez L' Hospital uygulamak gerekiyor.

\dfrac{x+\sin x}{\sin x}\:\dfrac{x-\sin x}{x^2\sin x} şeklinde yazınca, birincinin limiti hemen bulunur, ikinciye 3 kez L' Hospital uygulamak yeterli olur.
Merhaba Dogan Hocam. Ben de 3 kez L'Hopital uyguladım ama sizin belirttiğiniz şekliyle değil. Çarpanlara ayırıp herbir çarpana uyguladım.

4 Cevaplar

1 beğenilme 0 beğenilmeme
\lim_{ x \to 0}\left(\dfrac {1}{\sin^2x}-\dfrac1{x^2}\right)=L olsun.

x=2y dönüşümü yapalım:

\lim_{ y \to 0}\left(\dfrac {1}{\sin^22y}-\dfrac1{4y^2}\right)=\lim_{ y \to 0}\left(\dfrac1{4\sin^2y\cdot\cos^2y}-\dfrac1{4y^2}\right)=L

=\dfrac14\lim_{ y \to 0}\left(\dfrac1{\cos^2{y}}+\dfrac1{\sin^2{y}}-\dfrac1{y^2}\right)=\dfrac14+\dfrac{L}{4}=L

L=\dfrac13
(3.4k puan) tarafından 
0 beğenilme 0 beğenilmeme
Payda eşitleyip pay ve paydayı x ile genişletelim:

\lim_{x \to0}  \left(\dfrac{1}{\sin^2 x}-\dfrac{1}{x^2}\right)=\lim_{x \to0}\dfrac{x(x-\sin x)(x+\sin x)}{x^3\sin^2x}

=\lim_{x \to0}\left(\dfrac{x}{\sin x}\right)\cdot\lim_{x \to0}\dfrac{x+\sin x}{\sin x}\cdot\lim_{x \to0}\dfrac{1-\cos x}{3x^2}

=1.\lim_{x \to0}\dfrac{1+\cos x}{\cos x}\cdot\lim_{x \to0}\dfrac{1-\cos x}{3x^2}=1.2.\lim_{x \to0}\dfrac{\sin x}{6x}=\dfrac 13
(3.4k puan) tarafından 
0 beğenilme 0 beğenilmeme
Metin Aydemir'in çözümü:

Payda eşitleyelim ve \sin^2{x}=\frac{1}{2}(1-\cos{2x})=\frac{1}{2}\left(\frac{(2x)^2}{2!}-\frac{(2x)^4}{4!}+\cdots\right) olduğunu kullanalım. \lim\limits_{x\to 0}\left(\frac{x^2-\sin^2{x}}{x^2\sin^2{x}}\right)=\lim\limits_{x\to 0}\left(\frac{x^2-\frac{1}{2}\left(\frac{(2x)^2}{2!}-\frac{(2x)^4}{4!}+\cdots\right)}{x^2\frac{1}{2}\left(\frac{(2x)^2}{2!}-\frac{(2x)^4}{4!}+\cdots\right)}\right) =\lim\limits_{x\to 0}\left(\frac{2x^2-\left(\frac{(2x)^2}{2!}-\frac{(2x)^4}{4!}+\cdots\right)}{x^2\left(\frac{(2x)^2}{2!}-\frac{(2x)^4}{4!}+\cdots\right)}\right) =\lim\limits_{x\to 0}\left(\frac{\frac{(2x)^4}{4!}-\frac{(2x)^6}{6!}+\cdots}{\frac{(2x)^2x^2}{2!}-\frac{(2x)^4x^2}{4!}+\cdots}\right)=\frac{\frac{2^4}{4!}}{\frac{2^2}{2!}}=\frac{1}{3}.
(3.4k puan) tarafından 
0 beğenilme 0 beğenilmeme
\lim_{x\rightarrow0}\left(\dfrac{1}{\sin^2x}-\dfrac{1}{x^2}\right)=\lim_{x\rightarrow0}\left(\dfrac{x-\sin{x}}{x^3}\cdot\dfrac{1+\dfrac{\sin{x}}{x}}{\dfrac{\sin^2x}{x^2}}\right)

=2\lim_{x\rightarrow0}\dfrac{1-\cos{x}}{3x^2}=\lim_{x\rightarrow0}\dfrac{\sin^2\frac{x}{2}}{3\cdot\dfrac{x^2}{4}}=\dfrac{1}{3}
(3.4k puan) tarafından 
20,313 soru
21,868 cevap
73,590 yorum
2,864,869 kullanıcı