$x^3-y^3=xy+61$ denkleminin çözümleri

Question

$x^3-y^3=xy+61$ denklemini tamsayılarda çözünüz.

Answer 1

(Tam sayılar dünyasında)

$y=x$ olamaz.

$y>x$ ise

$$\begin{align*} 0 &= y^3+xy-x^3+61  \\ &= (y-x)(x^2+xy+y^2)+xy+61 \\ &\ge (x+y)^2+61\end{align*}$$ eşitsizliği sağlanır. (imkanlı değil.)

$x> y$ ise $$\begin{align*} 0 &= x^3-xy-y^3-61 \\ &=(x-y)(x^2+xy+y^2)-xy-61 \\ &\ge x^2+y^2-61\end{align*}$$ eşitsizliği sağlanır.

Bu bölgedeki ikilileri incelersek $(6,5)$ ve $(-5,-6)$ çözümlerini elde ederiz.

Comments

Farklı birkaç yoldan çözülebilir ama ben şunu merak ediyorum:

$P(x,y)=x^3-y^3-axy$ polinomunun indirgenemez olduğu nasıl gösteriliyor?

---

homojen polinomların çarpanları da homojen olur. sonu axyz yapıp bir çarpanının z-Ax-By olacağı var sayımı kullanılabilir.

Answer 2

Denklemi $(x-y)[(x-y)^2+3xy]=xy+61$ şeklinde yazalım.

$x-y=u\ne 0$ ve $xy=v$ denirse denklem $$u^3+3uv-v=61$$ şeklinde yazılabilir. $$v=\dfrac{61-u^3}{3u-1}$$ değeri sadece $u=1$ için tamsayı olacağından  $v=30$  yani $$x^2-x-30=0$$ bulunur. Buradan $(x,y)=(6,5)$  veya $(x,y)=(-5,-6)$ bulunur.

Answer 3

1981 yılında Rusya Matematik Olimpiyatlarında sorulmuş bu soru.

Denklemin her iki tarafını $27$ ile çarpıp düzenlersek $$27x^3-27y^3-1-27xy=1646$$ elde ederiz. Sonrasında $A^3+B^3+C^3-3ABC=(A+B+C)(A^2+B^2+C^2-AB-AC-BC)$ özdeşliği yardımıyla $$(3x-3y-1)(9x^2+9y^2+1+9xy+3x-3y)=2 \cdot 823$$ eşitliğine ulaşırız. $2$ ve $823$ asal sayı oldukları için

$3x-3y-1=2$ ve $9x^2+9y^2+1+9xy+3x-3y=823$ olmalıdır. Bu iki denklemi çözdüğümüzde $(6,5)$ ve $(-5,-6)$ çözümlerini buluruz.

 Andreescu, T., Andrica, D., Cucurezeanu, I.,]An Introduction to Diophantine Equations

Answer 4

$x=y+k$ olsun. Denklem düzenlenirse  oluşan $$(3k-1)y^2+(3k^2-k)y+k^3=61$$ eşitliğinden $k\le 3$ olmalı.

$k=1$ ise

$y^2+y-30=0$  eşitliğinden $(x,y)=(6,5)$ ve $(x,y)=(-5,-6)$ bulunur.

$k=2$ ve $k=3$ için oluşan kuadratik denklemin tam sayı çözümleri oluşmaz.