Question

$x\gt 6$  için $y=f(x)=\dfrac{x^3}{x-6}$ ifadesinin en küçük değerini türev kullanmadan bulunuz.

Bir sitede gördüğüm (tmoz), matkafasında olması gerektiğini düşündüğüm hoşuma giden bir soru.

Comments

Hileli iki çözüm:
Fonksiyonun $(6,+\infty)$ aralığında en küçük değerine $x=9$ da eriştiğini tahmin(!) edip:
(Daha çok hileli) Birinci çözüm:
($x\geq -18$ için) $(x+18)(x-9)^2\geq0$ olur. 
($x\geq -18$ için) $x^3-3^5\,x+2\cdot3^6\geq0$ olur.

($x\geq -18$ için) $x^3\geq 3^5(x-6)$ olur.
($x>6$ için) $\dfrac{x^3}{x-6}\geq 3^5=243$ olur. $x=9$ için eşitlik sağlanır.

(Daha az hileli) İkinci çözüm:
$\dfrac{x^3}{x-6}=x^2+6x+36+\dfrac{216}{x-6}$. 

(alpercay ın çözümündeki gibi) $u=x-6$ diyelim. $\dfrac{x^3}{x-6}=u^2+18u+108+\dfrac{216}u$ olur.

$u^2+18u+108+\dfrac{216}u=u^2+\underbrace{3u+3u+ \cdots+3u}+\underbrace{9+9+\cdots+9}+\underbrace{\dfrac{27}u+\cdots+\dfrac{27}u}\quad(1)$

olur.

(6 tane $3u$; 12 tane $9$; 8 tane $\dfrac{27}u$).

Aritmetik Ortalama$\geq$Geometrik Ortalama eşitsizliğinden,
$u^2+18u+108+\dfrac{216}u\geq27\sqrt[27]{3^{54}}=3^5=243$ olur.
$u=3$ ($x=9$) iken, (1) eşitliğinde sağdaki tüm terimler eşit olduğu için,  Aritmetik Ortalama$\geq$Geometrik Ortalama eşitsizliğinde eşitlik gerçeklenir.

Answer 1

Kullanışlı olacağından
 sabit $a,b>0$ ve değişken $u>0$ için $(u-a)^2+bu+\dfrac{a^2b}{u}$ ile ilgilenebiliriz.
Bu fonksiyon minimum değerini $a$ noktasında alır.

$\dfrac{(u+2k)^3}u$ fonksiyonunun ile ilgilenirsek
$u^2+6ku+\dfrac{8k^3}u+12k^2$ olarak düzenleyebiliriz.

İşimize yaraması için
$b-2a=6k$ ve $a^2b=8k^3$ çözümünü yapabiliriz.
$(a/2k,b/2k)=(A,B)$ için
$B-2A=3$ ve $A^2B=1$ olur.
(Çözmesi kolay 3.dereceden bir polinom geliyor.)
Buradan (pozitif olarak) $A=1/2$ ve $B=4$ gelir.

Dolayısıyla $k>0$ için pozitif bölgede
$\dfrac{(u+2k)^3}u$ fonksiyonunu
en küçük değerini $k$ noktasında alır.
Bu değer de $27k^2$'dir.

Answer 2

Sercan hocamın çözümüne benzer biraz daha ete kemiğe bürünmüş yorum:

$f(x)=\dfrac{x^3}{x-6}$ olsun.
 
$x=u+6$ dönüşümü ile $$\begin{array}{rcl} \dfrac{x^3}{x-6} & = & \dfrac{(u+6)^3}{u} \\ \\ & = & u^2+18u+108+\dfrac{216}{u} \\ \\ & = & u^2-6u+9+99+24u+\dfrac{216}{u} \\ \\ & =&(u-3)^2+24\cdot (u+\dfrac{9}{u})+99 \\ \\ & = & (u-3)^2+24\cdot \left[\left(\sqrt u-\dfrac{3}{\sqrt u}\right)^2+6\right]+99 \\ \\ & = &(u-3)^2+24\cdot \left(\dfrac{u-3}{\sqrt u}\right)^2+243\end{array}$$ bulunur. Son ifade $u=3$ için en küçük olacağından $f(x)_{min}=f(9)=243$ olmalıdır.

Comments

Bu tarz bir çözümde benim aklıma neden $(u-3)^2$'ni aldık, $(u+9)^2$ ya da $(u+a)^2$ gibi başka bir kare seçmedik sorusu da geliyor.

---

Çünki (türev kullanıldığında hemen görüldüğü gibi) u=3 (x=9) için minimuma erişiyor. Benim hileli dediğim çözümlerimde, fonksiyonun minimuma x=9 iken erişiyor olmasından (birincide çok, ikincide az) yararlandım.

---

Türev değil de birçok kombinasyonu denedim. $(u-3)^2$  terim seçiminde $(u+\dfrac{9}{u})$ terimine ulaşmak yol gösterici oldu. Ayrıca iki terim de $3$ noktasında en küçük değerini alıyor ($AO \ge GO).$ Türev kullanmadığım için çözüm hileli sayılmaz sanırım.

---

Ben, (az/çok) "hileli" sözcüğünü kendi çözümlerim için kullandım, zaten, o nedenle, çözüm olarak değil, yorum olarak yazdım. Senin ve Sercan ın çözümleriniz güzel.

 Aslında ikinci çözümümde, minimumun $u=3$ de olduğunu bilgisini, sadece, $u^2+18u+108+\frac{216}u$ ifadesini (AO$\geq$GO yu kullanabilmek için) uygun şekilde parçalamak için kullandım, deneme yanılmaya gerek kalmadı.

---

Sizin çözümünüz de güzel sayın hocam. $AO\ge GO$ çözümünü de biliyordum. Aslında minumum nokta civarında fonksiyonun yukarı konkav olmasından faydalanan bir çözüm daha var (bu noktanın solunda ve sağında bir $\epsilon$ pozitif sayısı için $f(x-\epsilon) =f(x+\epsilon))$ ama oluşan eşitliği elle çözmek zor olduğu için bilgisayar kullanmak gerekiyor. Vakit bulunca eklerim inşallah.

---

$f(x-\epsilon)=f(x+\epsilon)$   $$\dfrac{(x+\epsilon)^3}{x+\epsilon-6}=\dfrac{(x-\epsilon)^3}{x-\epsilon-6}$$ eşitliğinden wolfram $$\epsilon=\pm i\cdot\dfrac{\sqrt{x-9}}{\sqrt{-x-3}}\cdot x$$ değerini veriyor.

$x\to 9$  iken $\epsilon\to0$ olduğundan $x=9$ noktasında fonksiyon en küçük değerini almalı.

Answer 3

$x=u+6$ olsun. Küpü açmadan doğrudan aritmetik-geometrik ortalama eşitsizliğini kullanacağız:
 
$$f(x)=\dfrac{x^3}{x-6}  = \dfrac{(u+6)^3}{u}$$

Paya $$AO\ge GO$$ uygulanarak $$(x+3+3)^3\ge 3^5\cdot u$$ ve $$\dfrac{(u+6)^3}{u}\ge 243$$ elde olunur. $u=3$ için eşitlik sağlandığından $x=9$ noktasında fonksiyon en küçük olur.