Question

$x,y$  reel sayılar olmak üzere $13x^2+6xy+y^2-16x-4y+5$  ifadesinin en küçük yapan $x,y$  değerleri için $x+y=?$

 

Türev kullanarak ,çarpanlara ayırma ya da diskriminant  kullanarak çözülebilir.  Bildiğiniz başka yollar var mı?

Answer 1

Mesela ifadeyi $x$ e veya $y$ ye göre 2.derece denklem olarak düşünerek de çözülebilir. İfadeyi $y$ ye göre kuadratik denklem olarak düşünerek

$y^2+y(6x-4)+13x^2-16x+5=A$ diyelim. Denklem sağlayan reel sayılar bulunduğundan
$y^2+y(6x-4)+13x^2-16x+5-A=0$denkleminin diskriminantı pozitif olmalı. Yani

$\Delta=(6x-4)^2-4(13x^2-16x+5-A) \ge 0$ olmalı. İşlemler yapılırsa

$-4x^2+4x+A-1 \ge 0$

$(x-(1/2))^2 -(A/4) \le 0$

eşitsizliğinden

$x=1/2$ için $A$ değeri en az (burada 0) olur.

Denklemde $x=1/2$ yazılırsa

$y=1/2$ bulunur.

Answer 2

$A=13x^2+6xy+y^2-16x-4y+5$ olsun.

$A=(9x^2+6xy+y^2)-4(3x+y)+4+4x^2-4x+1$

$A=[(3x+y)^2-4(3x+y)+4]+(2x-1)^2$

$A=[(3x+y)-2]^2+(2x-1)^2\ge 0$ olduğundan $x=1/2=y$ için $A_{min} =0$ olur.