Lipschitz Süreklilik-VI

Question

$$f(x)=\arctan x$$ kuralı ile verilen $$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$ fonksiyonunun Lipschitz sürekli olduğunu gösteriniz.

Answer 1

I. YOL:

Her $x,y\in \mathbb{R}$ için $f$ fonksiyonu $[x,y]$ kapalı aralığında sürekli ve $(x,y)$ açık aralığında türevli olduğundan $$\frac{f(x)-f(y)}{x-y}=\frac{\arctan x-\arctan y}{x-y}=\frac{1}{1+c^2}=f'(c)$$ olacak şekilde en az bir $c\in (x,y)$ vardır. Her $c\in\mathbb{R}$ için $f'(c)=\frac{1}{1+c^2}\leq 1$ olduğundan    $$\left|\frac{\arctan x-\arctan y}{x-y}\right|=\frac{1}{1+c^2}\leq 1$$ yani   $$|{\arctan x-\arctan y}|\leq |x-y|$$ elde edilir. Dolayısıyla $f$ fonksiyonu $\mathbb{R}$'de Lipschitz süreklidir.

 

II. YOL: Bu linkte yer alan teoremden faydalanarak bir cevap verelim.

Fonksiyonun tanım kümesi bir aralık $(D_f=\mathbb{R})$ ve $f$ fonksiyonu bu aralıkta türevlenebilir bir fonksiyon olduğundan verdiğimiz linkte yer alan teoremden faydalanabiliriz.

Her $a\in \mathbb{R}$ için $|f'(a)|=\frac{1}{1+a^2}\leq 1$ olduğundan $$(\exists K>0)(\forall a\in\mathbb{R})(|f'(a)|\leq K)$$ önermesi doğrudur. O halde ilgili linkteki teorem gereğince $f$ fonksiyonu $\mathbb{R}$'de Lipschitz süreklidir.