Topoloji Elde Etme Yöntemleri-IV

Question

$X\neq\emptyset$ küme olmak üzere $Fr:2^X\to 2^X$ fonksiyonu her $A,B\in 2^X$ için

$F_1)$ $Fr(\emptyset)=\emptyset,$

$F_2)$ $Fr(A)=Fr(X\setminus A),$

$F_3)$ $A\subseteq B\Rightarrow Fr(A)\subseteq B\cup Fr(B),$

$F_4)$ $Fr(Fr(A))\subseteq Fr(A),$

$F_5)$ $Fr(A\cup B)\subseteq Fr(A)\cup Fr(B)$

koşullarını sağlasın.

$\mathbf{a)}$ $Fr$ fonksiyonu $F_1, F_2, F_3$ ve $F_5$ koşullarını sağladığında $X$ kümesinin $Fr(X\setminus A)\subseteq X\setminus A$ koşulunu sağlayan tüm altkümelerinin oluşturduğu ailenin $X$ kümesi üzerinde bir topoloji olduğunu gösteriniz. Yani $$\tau =\left\{A\subseteq X: Fr(X\setminus A)\subseteq X\setminus A\right\}$$ ailesinin $X$ kümesi üzerinde bir topoloji olduğunu gösteriniz.

$\mathbf{b)}$ $Fr$ fonksiyonu $F_1, F_2, F_3$ ve $F_5$ koşullarına ilave olarak $F_4$ koşulunu da sağladığında $Fr(A)=\overline{A}\setminus A^{\circ}=\overline{A}\cap\overline{X\setminus A}$  $(a$ şıkkında elde edilen $\tau$ topolojisine göre) olduğunu gösteriniz.

Answer 1

$\mathbf{a)}$ $\tau$ ailesinin topoloji olma koşullarını sağladığını gösterelim.
 

$\mathbf{T_1)}$ İlk olarak $\emptyset,X\in \tau$ olduğunu gösterelim.

$\left.\begin{array}{rr} Fr(X\setminus X)=Fr(\emptyset)\overset{F_1}{=}\emptyset\subseteq \emptyset=X\setminus X \\ \\ \tau=\{A\subseteq X:Fr(X\setminus A)\subseteq X\setminus A\}.\end{array}\right\}\Longrightarrow X\in\tau.$

 

$\left.\begin{array}{rr} Fr(X\setminus \emptyset)\overset{F_2}{=}Fr(\emptyset)\overset{F_1}{=}\emptyset\subseteq X=X\setminus \emptyset \\ \\ \tau=\{A\subseteq X:Fr(X\setminus A)\subseteq X\setminus A\}\end{array}\right\}\Longrightarrow \emptyset\in\tau.$

 

$\mathbf{T_2)}$ $A,B\in\tau$ olsun. Amacımız $A\cap B\in\tau$ olduğunu göstermek.

$\left.\begin{array}{rr} A\in\tau\Rightarrow Fr(X\setminus A)\subseteq X\setminus A \\ \\ B\in\tau\Rightarrow Fr(X\setminus B)\subseteq X\setminus B\end{array}\right\}\Rightarrow $

 

$\Rightarrow Fr(X\setminus A)\cup Fr(X\setminus B) \subseteq (X\setminus A)\cup (X\setminus B)$
 

$\begin{array}{rcl} \Rightarrow Fr(X\setminus (A\cap B)) & = & Fr((X\setminus A)\cup (X\setminus B)) \\ \\ & \overset{F_5}{\subseteq} & Fr(X\setminus A)\cup Fr(X\setminus B) \\ \\ & \subseteq & (X\setminus A)\cup (X\setminus B) \\ \\ & = & X\setminus (A\cap B)\end{array}$
 

$\Rightarrow A\cap B\in \tau.$

$\mathbf{T_3)}$ $\mathcal{A}\subseteq \tau$ olsun. Amacımız $\bigcup \mathcal{A}\in\tau$ olduğunu göstermek.