Question

$x^3+3x^2-3x+1=0$ denkleminin reel kökünü bulunuz.

Comments

#TartagliaTuesday

---

Evet orada gördüm. Çözümü hoşuma gitti.

Answer 1

Eren Kıral'ın twitter sayfasında #TartagliaTuesday başlığında tam küpe tamamlayarak çözülmüş:

$x^3+3x^2-3x+1-2x^3=-2x^3$   $$(x-1)^3=2x^3=(x\sqrt[3]{2})^3$$   $$x=\dfrac{1}{1-\sqrt[3]{2}}=-\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{2}-1$$

Answer 2

$$x^3+3x^2-3x+1=0\ldots (1)$$ denkleminde $$x=y-1\ldots (2)$$ dönüşümünü uygularsak $$x^3+3x^2-3x+1=0$$ denklemi $$y^3-6y+6=0$$ denklemine dönüşür. Şimdi de $$y=z+\frac{2}{z}\ldots (3)$$ dönüşümünü uygularsak $$y^3-6y+6=0$$ denklemi $$z^3+\frac{8}{z^3}+6=0$$ denklemine dönüşür. Buradan da $$(z^3)^2+6z^3+8=0$$ yani $$(z^3+4)\cdot (z^3+2)=0$$ yani $$z^3+4=0$$ veya $$z^3+2=0$$ yani $$z=-\sqrt[3]{4}$$ veya $$z=-\sqrt[3]{2}$$ elde edilir. Bunu $(3)$ nolu eşitlikte yerine yazarsak $$y=-\sqrt[3]{4}-\frac{2}{\sqrt[3]{4}}$$ veya $$y=-\sqrt[3]{2}-\frac{2}{\sqrt[3]{2}}$$ elde edilir. Bunu da $(2)$ nolu eşitlikte yerine yazarsak $$x=-\sqrt[3]{4}-\frac{2}{\sqrt[3]{4}}-1 \text{ veya } x=-\sqrt[3]{2}-\frac{2}{\sqrt[3]{2}}-1$$ bulunur. $$x=-\sqrt[3]{2}-\frac{2}{\sqrt[3]{2}}-1$$ $(1)$ nolu denklemi sağlamaz. O halde $$x=-\sqrt[3]{4}-\frac{2}{\sqrt[3]{4}}-1=-\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{2}-1$$ olmalıdır.

Comments

Şimdi asıl sorular şunlar olmalı:

$1)$ Neden $x=y-1$ dönüşümü yaptık?

$2)$ Neden $y=z+\frac{2}{z}$ dönüşümü yaptık?

---

1) $x^3+Bx^2+Cx+D=0$ denkleminde $x$ yerine $y-t$ yazarak denklem düzenlendiğinde, $t=B/3$ olduğunda $x^2$ li terim yok oluyor. Amaç denklemi sadeleştirerek daha kolay çözülebilir hale getirmek. Aslında $x$ ekseni doğrultusunda uygun bir öteleme ile ikinci dereceden terimleri yok ediyoruz. Ötelemenin bu işi yaptığını cebirsel olarak görüyorsun fakat işin geometrisini anladığımı söyleyemem. Bu dönüşümün motivasyonu nedir bilmiyorum.

2) $y^3+py+q=0$ denkleminde $y=z+a/z$ dönüşümü yapılıp denklem düzenlenirse, $a=-p/3$  olduğunda oluşan $z^2$ ve $z^4$ terimleri yok oluyor. Karesiz kübiklerde  $\cos3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta$  özdeşliğine dayanan $x=a\cos\theta$ dönüşümü de işe yarayabiliyor. Burada $a=\sqrt{\dfrac{4p}{-3}}$  alınabilir. Cebirsel olarak tamam ama yine işin geometrisini ya da buradaki hareketi anlamadım. Bu dönüşümün motivasyonu nedir bilmiyorum.

Answer 3

Şundan dolayı   $k=n^2-m^3=\dfrac{q^2}{4}+\dfrac{p^3}{27}\ge 0$  olmak üzere  $y^3-3my-2n=0$ denkleminin reel kökünün

$$y=\sqrt[3]{n+\sqrt{k}}+\sqrt[3]{n-\sqrt{k}}$$ şeklinde olduğunu biliyoruz.

Buna göre $$y^3-6y+6=0$$ denkleminden $n=-3$ ,  $m=2$,  $k=1\ge 0$ olduğundan $$y=\sqrt[3]{-2}+\sqrt[3]{-4}$$   $$x=\sqrt[3]{-2}+\sqrt[3]{-4}-1$$  bulunur.