Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
125 kez görüntülendi
$a\neq 0$ olmak üzere $ax^3+bx^2+cx+d=0$ denkleminin en az bir tane gerçel kökünün var olduğunu gösteriniz.
Lisans Matematik kategorisinde (11.4k puan) tarafından  | 125 kez görüntülendi

2 Cevaplar

1 beğenilme 0 beğenilmeme
Eşlenik kök teoreminden hemen söyleyebiliriz. Teorem gerçel katsayılı bir polinomun sanal köklerinin eşlenik olduğunu söyler. Kübik polinomların üç tane kökü olacağından, bu teoremden dolayı en çok iki tane sanal kökü olabilir. Dolayısıyla üçüncü kök gerçel olmak zorundadır.
(2.8k puan) tarafından 
1 beğenilme 0 beğenilmeme
Yanıt için şunu da söyleyebiliriz: $a>0$ olduğunu varsayalım. Benzer düşünceyi $a<0$ için de yapabiliriz.

$$\lim\limits_{x\to -\infty} (ax^3+bx^2+cx+d)=-\infty,$$$$\lim\limits_{x\to \infty} (ax^3+bx^2+cx+d)=\infty$$  ve $$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$$ kuralı ile verilen $$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$ fonksiyonu sürekli olduğundan bu fonksiyonun grafiği $-\infty$'den $\infty$'a giderken mutlaka $x$-eksenini kesecektir. $f$ fonksiyonunun bu sıfırı söz konusu kübik denklemin kökü olacaktır.
(11.4k puan) tarafından 
20,239 soru
21,758 cevap
73,398 yorum
2,061,473 kullanıcı