Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
451 kez görüntülendi

$x^3+3x^2-24x+1$ polinomunun kökleri (hepsi gerçel)  $\alpha,\beta,\gamma$ olsun.

(Lisans düzeyi kolay soru: Bu polinomun 3 gerçel kökü olduğunu gösteriniz)

$\sqrt[3]{\alpha}+\sqrt[3]{\beta}+\sqrt[3]{\gamma}$ yı hesaplayınız.

(İpucu: genel bir çözüm değil, sadece bu polinom için yapınız)

EK: Hindistan da, Teknik Üniversitelere giriş için yapılan ortak sınavda (JEE Advanced) sorulmuş bir soru.

(Bu sınav, dünyada, Wikipedia ya göre, bu düzeydeki en zor sınavlardan biri olarak görülüyormuş)

Orta Öğretim Matematik kategorisinde (6.2k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 451 kez görüntülendi
Hatalı bir çözüm:

$\sqrt[3]\alpha,\ \sqrt[3]\beta,\ \sqrt[3]\gamma$ sayıları   $x^9+3x^6-24x^3+1$ polinomunun kökleridir.

O nedenle, $\sqrt[3]\alpha+ \sqrt[3]\beta+\sqrt[3]\gamma=-\frac{a_8}{a_9}=0$ olur.

Hata nerede?
$9.$ dereceden polinomun $9$ kökü (kompleks sayı da olabilir) olduğundan Vieta teoremi'ni yalnızca $3$ kökünün toplamı için uygulamak (sayısal olarak doğru yanıt verse bile) doğru olmaz. Doğrusu, $9$ kökün toplamı $0$'a eşit olur.
Evet, aslında (hiçbiri gerçel sayı olmayan) diğer 6 kökü de kolayca bulabiliriz:

$w=e^{\frac{2\pi i}3}$ olsun. Bu (9.derece) polinomun tüm kökleri:

$\sqrt[3]\alpha,w\sqrt[3]\alpha,w^2\sqrt[3]\alpha,\sqrt[3]\beta,w\sqrt[3]\beta,w^2\sqrt[3]\beta,\sqrt[3]\gamma,w\sqrt[3]\gamma,w^2\sqrt[3]\gamma$ olur.

2 Cevaplar

2 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

Çözüm: Öncelikle $P(x)= x^3+3x^2−24x+1$ denirse, $P(-7)\cdot P(-6)<0$, $P(0)\cdot P(1)<0$, $P(3)\cdot P(4)<0$ olduğundan sürekli fonksiyonlar için ara değer teoremi gereğince bu polinomun üç gerçel kökü vardır. Belirlilik açısından bunları $-7<\alpha <-6$, $0<\beta < 1$, $3<\gamma < 4$ biçiminde aralıklara sıkıştırabiliriz. $a=\sqrt[3]{\alpha}$, $b=\sqrt[3]{\beta}$, $c=\sqrt[3]{\gamma}$ olmak üzere $t = a + b + c$ toplamının değerini arıyoruz. Bu belirlilik kısmını yapma amacımız $a<0<b<c<|a|$ olduğundan, ileride $ab+bc+ca$ türünde bir ifadeyle karşılaşırsak işaretini belirlemek faydalı olabilir. Örneğin, $ab<0$ ve $0<bc<-ac$ olup $ab+bc+ca<0$ olacaktır.

 

Şimdi şu küp açılımına bakalım:

$$t^3 = (a+b+c)^3 = a^3 + b^3 + c^3 + 6abc + 3ab(a+b) + 3bc(c+a) + 3ca(c+a)$$

Burada Vieta teoreminden $a^3 + b^3 + c^3 = \alpha + \beta + \gamma = -3$ ve $abc = \sqrt[3]{\alpha  \beta  \gamma} = -1$ yazılır. Ayrıca $a+b=t-c$, $b+c=t-a$, $c+a=t-b$ kullanılırsa denklem

$$ t^3 = 3t(ab+bc+ca) $$

biçimine gelir. $t=0$ veya $t^2 = 3(ab+bc+ca)$ dır. $t$ bir gerçel sayıdır. $ab+bc+ca<0$ olduğundan $t^2 = 3(ab+bc+ca)$ durumundan gerçel $t$ değeri gelmez. O halde tek seçenek $t=0$ durumudur.

 

$$ \sqrt[3]{\alpha} + \sqrt[3]{\beta} + \sqrt[3]{\gamma} = 0 $$

 

elde edilir.

(2.6k puan) tarafından 
tarafından seçilmiş
2 beğenilme 0 beğenilmeme
Biraz daha kısa bir çözüm:

($\alpha,\beta,\gamma$ nın gerçel olduğunu lokman gökçe güzelce göstermiş, tekrar etmeyeyim)

Polinomu $(x+1)^3-27x$ olarak yazabiliriz. Öyleyse:

$(\alpha+1)^3=27\alpha$ eşdeğer olarak, $\alpha=\left(\frac{\alpha+1}3\right)^3$ ya da $\sqrt[3]\alpha=\frac{\alpha+1}3$ olur.

Aynı şekilde, $\sqrt[3]\beta=\frac{\beta+1}3$ ve $\sqrt[3]\gamma=\frac{\gamma+1}3$ elde edilir.

$\sqrt[3]\alpha+\sqrt[3]\beta+\sqrt[3]\gamma=\frac{\alpha+1}3+\frac{\beta+1}3+\frac{\gamma+1}3=\frac{\alpha+\beta+\gamma+3}3=\frac{-3+3}3=0$ olur.
(6.2k puan) tarafından 
Bu çözümü, sorunun kurgusunu da açıklaması bakımından faydalı buldum. Teşekkürler Doğan hocam.
20,246 soru
21,768 cevap
73,412 yorum
2,124,516 kullanıcı