Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
340 kez görüntülendi
$\alpha,\ x^3-3x^2+1$ polinomunun en büyük kökü olsun.

$\lfloor\alpha^{2022}\rfloor=a\mod 17\quad (0\leq a<17)$ ise, $a$ yı bulunuz.

İpucu: $x^3-3x^2+1\equiv (x-4)(x-5)(x-11)\mod 17$

(IMO (herhalde 1998) kısa listesindeki bir sorunun biraz değiştirilmiş şekli)
Lisans Matematik kategorisinde (6.2k puan) tarafından  | 340 kez görüntülendi

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme

    $x^3-3x^2+1$ polinomuna, kısaca, $ P(x) $ diyelim.
    $ P(-1)<0,\ P(0)>0,\ P(1)<0,\ P(3)>0 $ olduğundan, bu polinomun $3$ gerçel kökü vardır.
    Kökleri $1<\alpha<3,\ 0<\beta<1,\ -1<\gamma<0$ olacak şekilde adlandıralım.
    $\forall n\in\mathbb{N}$ için $\alpha^n+\beta^n+\gamma^n$ (köklerin simetrik bir polinomu ve polinomun katsayıları tamsayı olduğu için) bir tamsayıdır.
    Ayrıca, $ P(-\frac34)<0 $ ve $ P(\frac34)<0 $ olduğu için $ -\frac34<\gamma<0 $ ve $ 0<\beta<\frac34 $ olur.
    Bunlardan $n>2$ ve çift iken $ 0<\beta^n+\gamma^n<1 $ olduğunu elde ederiz.
    Öyleyse $ \lfloor\alpha^{2022}\rfloor=\alpha^{2022}+\beta^{2022}+\gamma^{2022}-1 $ olur.
    $\alpha^n+\beta^n+\gamma^n$ in katsayılar cinsinden formülü (katsayıların bazı tamsayılar ile çarpım ve toplamı şeklinde olduğu için) $ \mod17 $ için de geçerlidir. $ \mod 17  $ için kökler $ 4,\ 5 $ ve $ 11 $ olduğu için:
    ($\forall n\in\mathbb{N}$ için) $\alpha^{2022}+\beta^{2022}+\gamma^{2022}\equiv4^{2022}+5^{2022}+11^{2022}\mod17  $ olur.
    Küçük Fermat  Teoreminden, $ 4^{16}\equiv 5^{16}\equiv 11^{16}\equiv1 \mod17$ olup 
    $4^{2022}+5^{2022}+11^{2022} \equiv 4^{6}+5^{6}+11^{6}\equiv-1+2+8\equiv9\mod 17$ olur.
    $ \lfloor\alpha^{2022}\rfloor\equiv9-1\equiv8\mod17$ bulunur.

(6.2k puan) tarafından 

Sorunun orijinal şekli: "$\cdots$  olmak üzere, $\lfloor\alpha^{1998}\rfloor$ nin $17$ ye tam bölündüğünü gösteriniz".

Bence güzel ama biraz zor bir soru: polinomun $\mod 17$ kökleri hemen görülemiyor (benim sorumdaki ipucu orijinal soruda yok).

(Şurada çözülmüş)

Zorlu bir soru bence de. Kurgusu çok orijinal ve ufuk açıcı olmuş.
20,282 soru
21,821 cevap
73,503 yorum
2,530,201 kullanıcı