İndirgenemez Uzaylar-3

Question

$(X,\tau)$ topolojik uzay olsun.

$((X,\tau)$ indirgenemez uzay$)(|X|> 1)\Rightarrow (X,\tau),$ Hausdorff değil

olduğunu gösteriniz.

Comments

Demek ki bu uzayların nerdeyse tamamı Hausdorff değil.

---

Buradan da şu soru akla gelmeli. İndirgenemez bir $T_1$ uzayı var mıdır?

Answer 1

Indirgenemez uzaylarda herhangi 2 açık küme, boş olmayarak kesişir. Dolayısıyla 2 den fazla eleman var ise bu iki elemanı ayırabilen herhangi "ayrık" açık küme bulunamaz. Yani Hausdorff olamaz.

https://matkafasi.com/140535/indirgenemez-uzaylar-i buradaki b) kısmını kullandık.

Answer 2

Anıl'ın yanıtı gayet net. Biz de formal bir kanıt ekleyelim.

$(\underset{p}{\underbrace{(X,\tau), \text{ indirgenemez uzay}}})(\underset{q}{\underbrace{|X|>1}})\Rightarrow \underset{r}{\underbrace{(X,\tau), \text{ Hausdorff değil}}}\dots (1)$

$$\begin{array}{rcl} (p\wedge q)  \Rightarrow r & \equiv & (p\wedge q)'\vee r \\ \\ & \equiv & (p'\vee q')\vee r \\ \\& \equiv & (p'\vee r)\vee q' \\ \\ & \equiv & (p\wedge r')'\vee q' \\ \\ & \equiv & (p\wedge r')\Rightarrow q' \end{array}$$

olduğundan $$(\underset{p}{\underbrace{(X,\tau), \text{ indirgenemez uzay}}})(\underset{q}{\underbrace{|X|>1}})\Rightarrow \underset{r}{\underbrace{(X,\tau), \text{ Hausdorff değil}}}\ldots (1)$$ önermesi ile

$$(\underset{p}{\underbrace{(X,\tau), \text{ indirgenemez uzay}}})(\underset{r'}{\underbrace{(X,\tau), \text{ Hausdorff}}})\Rightarrow \underset{q'}{\underbrace{|X|\leq 1}}\ldots (2)$$ birbirine denktir. Dolayısıyla $(1)$ nolu önerme yerine $(2)$ nolu önermeyi kanıtlarsak istenileni kanıtlamış oluruz.

$(X,\tau),$ indirgenemez Hausdorff uzayı olsun. $|X|>1$ olduğunu varsayalım. Amacımız bir çelişki elde etmek.

 

$\left.\begin{array}{rcl} |X|>1\Rightarrow (\exists x,y\in X)(x\neq y) \\ \\ (X,\tau), \text{ Hausdorff} \end{array}\right\}\Rightarrow (\exists U\in\mathcal{U}(x))(V\in\mathcal{U}(y))(U\cap V=\emptyset)$

 

$\left.\begin{array}{rr} \Rightarrow (U,V\in\tau\setminus\{\emptyset\})(U\cap V=\emptyset) \\ \\ (X,\tau), \text{ indirgenemez uzay}\end{array}\right\}\Rightarrow (U\cap V\neq \emptyset)(U\cap V=\emptyset)\equiv 0.$