İndirgenemez Uzaylar-1

Question

$(X,\tau)$ topolojik uzay olmak üzere aşağıdakilerin denk olduğunu gösteriniz.

$a)$ $(\forall C,D\in C(X,\tau))[X=C\cup D\Rightarrow (C=X\vee D=X)];$

$b)$ $(\forall U,V\in\tau\setminus\{\emptyset\})(U\cap V\neq\emptyset);$

$c)$ $(\forall U\in\tau\setminus\{\emptyset\})\left(\overline{U}=X\right).$
 

Bu birbirine denk koşullardan birini sağlayan topolojik uzaylara indirgenemez uzay denir. İndirgenemez olmayan topolojik uzaylara da indirgenebilir uzay adı verilir.

İndirgenemez uzaylar hiperbağlantılı olarak da adlandırılır.

Answer 1

$(a)\Rightarrow (b):$ Hükmün yanlış olduğunu yani $$(\exists U,V\in \tau\setminus \{\emptyset\})(U\cap V=\emptyset)$$ önermesinin doğru varsayıp bir çelişki elde edelim.

$\left.\begin{array}{rr}U,V\in\tau\setminus\{\emptyset\} \\ \\ (C:=cl(U))(D:=U^c) \end{array} \right\}\Rightarrow \begin{array}{rr} \\ \\ \left. \begin{array}{rr} (C,D\in C(X,\tau))(X=C\cup D) \\ \\ \text{Hipotez}\end{array} \right\} \Rightarrow \end{array}$

$\left.\begin{array}{rr}\Rightarrow (cl(U)=X \ \vee \ U^c=X)\Rightarrow (cl(U)=X \ \vee \ U=\emptyset) \\ \\ (U,V\in\tau\setminus\{\emptyset\})(U\cap V=\emptyset)\end{array}\right\}\Rightarrow$

 
$\Rightarrow V=X\cap V=cl(U)\cap V\subseteq cl(U\cap V)=cl(\emptyset)=\emptyset$

$\Rightarrow V=\emptyset$

Bu ise $V\in\tau\setminus\{\emptyset\}$ olması ile çelişir.

 

$(b)\Rightarrow (c):$ $U\in\tau\setminus\{\emptyset\}$ olsun. Amacımız $\overline{U}=X$ olduğunu göstermek. Bunun için de her $x\in X$ için $x\in \overline{U}$ olduğunu yani uzayın her noktasının $U$ kümesi için bir değme noktası olduğunu yani $$(\forall W\in\mathcal{U}(x))(W\cap U\neq\emptyset)$$ önermesinin doğru olduğunu göstermeliyiz. Şimdi $W\in \mathcal{U}(x)$ olsun. $U\cap W=\emptyset$ olduğunu gösterirsek kanıt biter.

$\left.\begin{array}{rr}W\in\mathcal{U}(x)\Rightarrow W\in\tau\setminus\{\emptyset\} \\ \\ U\in\tau\setminus\{\emptyset\}\end{array}\right\}\overset{\text{Hipotez}}{\Rightarrow} U\cap W\neq\emptyset$

Dolayısıyla $X\subseteq\overline{U}\subseteq X$  yani  $\overline{U}=X$ olur.

 

$(c)\Rightarrow (a):$ $(\underset{p}{\underbrace{C,D\in C(X,\tau)}})(\underset{q}{\underbrace{X=C\cup D}})\Rightarrow (\underset{r}{\underbrace{C=X}}\vee \underset{s}{\underbrace{D=X}})$ diyelim.

$\begin{array}{rcl} (p\wedge q)\Rightarrow (r\vee s) & \equiv & (p\wedge q)'\vee (r\vee s) \\ \\ & \equiv & (p'\vee q') \vee (r\vee s) \\ \\ & \equiv & (p'\vee q' \vee r) \vee s \\ \\ & \equiv & (p\wedge q \wedge r')' \vee s \\ \\ & \equiv & (p\wedge q \wedge r')\Rightarrow s \end{array}$

olduğundan

$$(\underset{p}{\underbrace{C,D\in C(X,\tau)}})(\underset{q}{\underbrace{X=C\cup D}})\Rightarrow (\underset{r}{\underbrace{C=X}}\vee \underset{s}{\underbrace{D=X}})\ldots (1)$$

önermesi ile

$$(\underset{p}{\underbrace{C,D\in C(X,\tau)}})(\underset{q}{\underbrace{X=C\cup D}}) (\underset{r}{\underbrace{C\neq X}})\Rightarrow \underset{s}{\underbrace{D=X}}\ldots (2)$$

önermesi birbirine denktir. Dolayısıyla $(2)$ nolu önermeyi kanıtlarsak istenileni kanıtlamış oluruz.

Şimdi $C,D\in C(X,\tau),$  $X=C\cup D$  ve  $C\neq X$ olsun. Amacımız -hipotezi de kullanarak- $D=X$ olduğunu göstermek.

$\left.\begin{array}{rcl} (C,D\in C(X,\tau))(X=C\cup D)(C\neq X)\Rightarrow (C^c\in \tau\setminus\{\emptyset\})(C^c\cap D^c=\emptyset) \\ \text{Hipotez}\end{array}\right\}\Rightarrow$

$\Rightarrow (cl(C^c)=X)(D^c\cap cl(C^c)\subseteq cl(D^c\cap C^c)=cl(\emptyset)=\emptyset)$

$\Rightarrow D^c\cap X=\emptyset$

$\Rightarrow D^c=\emptyset$

$\Rightarrow D=X.$