Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
68 kez görüntülendi

$(X,\tau)$ topolojik uzay olmak üzere aşağıdakilerin denk olduğunu gösteriniz.

$a)$ $(\forall C,D\in C(X,\tau))[X=C\cup D\Rightarrow (C=X\vee D=X)];$

$b)$ $(\forall U,V\in\tau\setminus\{\emptyset\})(U\cap V\neq\emptyset);$

$c)$ $(\forall U\in\tau\setminus\{\emptyset\})(\overline{U}=X).$
 

Bu birbirine denk koşullardan birini sağlayan topolojik uzaylara indirgenemez uzay denir. İndirgenemez olmayan topolojik uzaylara da indirgenebilir uzay adı verilir.

İndirgenemez uzaylar hiperbağlantılı olarak da adlandırılır.

Lisans Matematik kategorisinde (11.4k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 68 kez görüntülendi

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme
$(a)\Rightarrow (b):$ Hükmün yanlış olduğunu yani $$(\exists U,V\in \tau\setminus \{\emptyset\})(U\cap V=\emptyset)$$ önermesinin doğru varsayıp bir çelişki elde edelim.

$\left.\begin{array}{rr}U,V\in\tau\setminus\{\emptyset\} \\ \\ (C:=cl(U))(D:=U^c) \end{array} \right\}\Rightarrow \begin{array}{rr} \\ \\ \left. \begin{array}{rr} (C,D\in C(X,\tau))(X=C\cup D) \\ \\ \text{Hipotez}\end{array} \right\} \Rightarrow \end{array}$

$\left.\begin{array}{rr}\Rightarrow (cl(U)=X \ \vee \ U^c=X)\Rightarrow (cl(U)=X \ \vee \ U=\emptyset) \\ \\ (U,V\in\tau\setminus\{\emptyset\})(U\cap V=\emptyset)\end{array}\right\}\Rightarrow $

 
$\Rightarrow V=X\cap V=cl(U)\cap V\subseteq cl(U\cap V)=cl(\emptyset)=\emptyset$

$\Rightarrow V=\emptyset$

Bu ise $V\in\tau\setminus\{\emptyset\}$ olması ile çelişir.

 

$(b)\Rightarrow (c):$ $U\in\tau\setminus\{\emptyset\}$ olsun. Amacımız $\overline{U}=X$ olduğunu göstermek. Bunun için de her $x\in X$ için $x\in \overline{U}$ olduğunu yani uzayın her noktasının $U$ kümesi için bir değme noktası olduğunu yani $$(\forall W\in\mathcal{U}(x))(W\cap U\neq\emptyset)$$ önermesinin doğru olduğunu göstermeliyiz. Şimdi $W\in \mathcal{U}(x)$ olsun. $U\cap W=\emptyset$ olduğunu gösterirsek kanıt biter.

$\left.\begin{array}{rr}W\in\mathcal{U}(x)\Rightarrow W\in\tau\setminus\{\emptyset\} \\ \\ U\in\tau\setminus\{\emptyset\}\end{array}\right\}\overset{\text{Hipotez}}{\Rightarrow} U\cap W\neq\emptyset$

Dolayısıyla $X\subseteq\overline{U}\subseteq X$  yani  $\overline{U}=X$ olur.

 

$(c)\Rightarrow (a):$ $(\underset{p}{\underbrace{C,D\in C(X,\tau)}})(\underset{q}{\underbrace{X=C\cup D}})\Rightarrow (\underset{r}{\underbrace{C=X}}\vee \underset{s}{\underbrace{D=X}})$ diyelim.

$\begin{array}{rcl} (p\wedge q)\Rightarrow (r\vee s) & \equiv & (p\wedge q)'\vee (r\vee s) \\ \\ & \equiv & (p'\vee q') \vee (r\vee s) \\ \\ & \equiv & (p'\vee q' \vee r) \vee s \\ \\ & \equiv & (p\wedge q \wedge r')' \vee s \\ \\ & \equiv & (p\wedge q \wedge r')\Rightarrow s \end{array} $

olduğundan

$$(\underset{p}{\underbrace{C,D\in C(X,\tau)}})(\underset{q}{\underbrace{X=C\cup D}})\Rightarrow (\underset{r}{\underbrace{C=X}}\vee \underset{s}{\underbrace{D=X}})\ldots (1)$$

önermesi ile

$$(\underset{p}{\underbrace{C,D\in C(X,\tau)}})(\underset{q}{\underbrace{X=C\cup D}}) (\underset{r}{\underbrace{C\neq X}})\Rightarrow \underset{s}{\underbrace{D=X}}\ldots (2)$$

önermesi birbirine denktir. Dolayısıyla $(2)$ nolu önermeyi kanıtlarsak istenileni kanıtlamış oluruz.

Şimdi $C,D\in C(X,\tau),$  $X=C\cup D$  ve  $C\neq X$ olsun. Amacımız -hipotezi de kullanarak- $D=X$ olduğunu göstermek.

$\left.\begin{array}{rcl} (C,D\in C(X,\tau))(X=C\cup D)(C\neq X)\Rightarrow (C^c\in \tau\setminus\{\emptyset\})(C^c\cap D^c=\emptyset) \\ \text{Hipotez}\end{array}\right\}\Rightarrow $

$\Rightarrow (cl(C^c)=X)(D^c\cap cl(C^c)\subseteq cl(D^c\cap C^c)=cl(\emptyset)=\emptyset)$

$\Rightarrow D^c\cap X=\emptyset$

$\Rightarrow D^c=\emptyset$

$\Rightarrow D=X.$
(11.4k puan) tarafından 
20,205 soru
21,729 cevap
73,289 yorum
1,890,761 kullanıcı