İndirgenemez Uzaylar-4

Question

$|X|\geq\aleph_0$ ve $\tau=\{A\subseteq X: |A^c|<\aleph_0\}\cup\{\emptyset\}$ olsun. $(X,\tau)$ topolojik uzayının indirgenemez bir uzay olduğunu gösteriniz.

Answer 1

$(X,\tau)$ topolojik uzayının indirgenebilir olduğunu varsayarsak

 
$\begin{array}{rcl} (X,\tau), \text{ indirgenebilir} & \Rightarrow & (\exists U,V\in\tau\setminus \{\emptyset\})(U\cap V=\emptyset) \\ \\ & \Rightarrow & (|U^c|<\aleph_0)(|V^c|<\aleph_0)(U^c\cup V^c=X) \\ \\ & \Rightarrow & (|U^c\cup V^c|<\aleph_0))(|U^c\cup V^c|=|X|\geq \aleph_0) \\ \\ &\Rightarrow & \aleph_0\leq |U^c\cup V^c|<\aleph_0\end{array}$

 
çelişkisi elde edilir.