Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
187 kez görüntülendi
$f(1-3x)+f(1+3x)=x^{2022}$ ise

$\int_{-2}^4 f(x)dx=?$

Soruyu çözebilmek için $f$ fonksiyonunu bulmak istedim ama bulamadım. $f(1-3x)=f(1+3x)$ olduğunu kabül edersem çözülür ama bu eşitlik doğru mudur bilmiyorum.
Orta Öğretim Matematik kategorisinde (94 puan) tarafından  | 187 kez görüntülendi

$f(1-3x)=f(1+3x)$ (ve verilen eşitlik doğru) olacak şekilde (en az) bir fonksiyon aslında var (ve bulması zor değil).
Ama asıl ilginç (ve daha zor olanı) onu bulmadan yapmak (ve böylece sorunun da gerçekten güzel ve anlamlı olduğununu: yani fonksiyonun formülü ne olursa olsun aynı cevabın  çıkacağını göstermek) daha güzel olur.

Şöyle başlamayı dene (değişken olarak $u$ kullanmak zorunlu değil ama alışkanlık):

$\int_{-2}^4f(x)\,dx=\int_{-2}^4f(u)\,du$ ve $u=1+3x$ olsun. İntegrali (eşitliği kullanarak) dönüştürüp, yeni integralde de benzer  bir şey yapmayı dene.
(Soruda, integralin sınırlarının niçin böyle olduğu, $x=\pm1$ iken $1\pm3x$ in $-2$ ve $4$ değerleri aldığından anlaşılabilir) 
(Ya da, hemen akla gelmeyebilen, ama aslında aynı şey olan: $\int_{-1}^1x^{2022}\,dx=\int_{-1}^1f(1-3x)\,dx+\int_{-1}^1f(1+3x)\,dx$ yazıp, sağdaki integralleri, bir şekilde, $\int_{-2}^4f(x)\,dx$ e dönüştürmek.)

2 Cevaplar

0 beğenilme 0 beğenilmeme
Hocam dediklerinizi yapınca $\frac{1}{3}\int_{-1}^1 (f(1+3x)+f(1-3x))dx=\frac{1}{3}\int_{-1}^1 x^{2022}dx=\frac{2}{3\cdot2023}$ buldum. Teşekkürler.
(94 puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
$\int_{-2}^4f(x)\,dx$ i de bulabilirsin.
($f(x)=\frac12\left(\frac{x-1}3\right)^{2022}$ fonksiyonu, istenen eşitliği sağlar ve $f(1+3x)=f(1-3x)$ olur.)
0 beğenilme 0 beğenilmeme
$f(x)=\frac{1}{2}(\frac{x-1}{3})^{2022}$ fonksiyonu için çözüm yapınca

 

$\int_{-2}^4 \frac{(\frac{x-1}{3})^{2022}}{2} dx = 3\cdot \frac{1}{2023}$  olmalı. Sanırım yukardaki çözümde bir eksik var.
(2.8k puan) tarafından 
İlk cevapda istenen integral hesaplanmamış ($\frac13$ de gereksiz).

Çözümün devamı aşağıdaki gibi olabilir:

\begin{align*}
        \int_{-1}^1 (f(1+3x)+f(1-3x))\,dx=\int_{-1}^1 f(1+3x)\,dx+\int_{-1}^1 f(1-3x)\,dx  \\
     \stackrel{u=1+3x,\,v=1-3x}{=}\frac13\int_{-2}^4f(u)\,du-\frac13\int_4^{-2}f(v)\,dv=\frac23\int_{-2}^4f(x)\,dx=\frac2{2023}
    \end{align*} den

$\int_{-2}^4f(x)\,dx=\frac3{2023}$
20,240 soru
21,759 cevap
73,407 yorum
2,079,694 kullanıcı