$\int_{-2}^4 f(x)dx=?$

Question

$f(1-3x)+f(1+3x)=x^{2022}$ ise

$\int_{-2}^4 f(x)dx=?$

Soruyu çözebilmek için $f$ fonksiyonunu bulmak istedim ama bulamadım. $f(1-3x)=f(1+3x)$ olduğunu kabül edersem çözülür ama bu eşitlik doğru mudur bilmiyorum.

Comments

$f(1-3x)=f(1+3x)$ (ve verilen eşitlik doğru) olacak şekilde (en az) bir fonksiyon aslında var (ve bulması zor değil).
Ama asıl ilginç (ve daha zor olanı) onu bulmadan yapmak (ve böylece sorunun da gerçekten güzel ve anlamlı olduğununu: yani fonksiyonun formülü ne olursa olsun aynı cevabın  çıkacağını göstermek) daha güzel olur.

Şöyle başlamayı dene (değişken olarak $u$ kullanmak zorunlu değil ama alışkanlık):

$\int_{-2}^4f(x)\,dx=\int_{-2}^4f(u)\,du$ ve $u=1+3x$ olsun. İntegrali (eşitliği kullanarak) dönüştürüp, yeni integralde de benzer  bir şey yapmayı dene.
(Soruda, integralin sınırlarının niçin böyle olduğu, $x=\pm1$ iken $1\pm3x$ in $-2$ ve $4$ değerleri aldığından anlaşılabilir) 
(Ya da, hemen akla gelmeyebilen, ama aslında aynı şey olan: $\int_{-1}^1x^{2022}\,dx=\int_{-1}^1f(1-3x)\,dx+\int_{-1}^1f(1+3x)\,dx$ yazıp, sağdaki integralleri, bir şekilde, $\int_{-2}^4f(x)\,dx$ e dönüştürmek.)

Answer 1

Hocam dediklerinizi yapınca $\frac{1}{3}\int_{-1}^1 (f(1+3x)+f(1-3x))dx=\frac{1}{3}\int_{-1}^1 x^{2022}dx=\frac{2}{3\cdot2023}$ buldum. Teşekkürler.

Comments

$\int_{-2}^4f(x)\,dx$ i de bulabilirsin.
($f(x)=\frac12\left(\frac{x-1}3\right)^{2022}$ fonksiyonu, istenen eşitliği sağlar ve $f(1+3x)=f(1-3x)$ olur.)

Answer 2

$f(x)=\frac{1}{2}(\frac{x-1}{3})^{2022}$ fonksiyonu için çözüm yapınca

 

$\int_{-2}^4 \frac{(\frac{x-1}{3})^{2022}}{2} dx = 3\cdot \frac{1}{2023}$  olmalı. Sanırım yukardaki çözümde bir eksik var.

Comments

İlk cevapda istenen integral hesaplanmamış ($\frac13$ de gereksiz).

Çözümün devamı aşağıdaki gibi olabilir:

\begin{align*}
        \int_{-1}^1 (f(1+3x)+f(1-3x))\,dx=\int_{-1}^1 f(1+3x)\,dx+\int_{-1}^1 f(1-3x)\,dx  \\
     \stackrel{u=1+3x,\,v=1-3x}{=}\frac13\int_{-2}^4f(u)\,du-\frac13\int_4^{-2}f(v)\,dv=\frac23\int_{-2}^4f(x)\,dx=\frac2{2023}
    \end{align*} den

$\int_{-2}^4f(x)\,dx=\frac3{2023}$